高等数学-隐函数的求导公式.ppt

* 一个方程的情形 方程组的情形 小结 ( implicit function ) 第五节 隐函数的求导公式 第八章 多元函数微分法及其应用 * 隐函数在实际问题中是常见的. 平面曲线方程 空间曲面方程 空间曲线方程 下面讨论如何由隐函数方程 如 求偏导数. 隐函数的求导公式 * 在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导法. 并指出: 曾介绍过隐函数 的求导公式, 隐函数存在的一个充分条件. 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 * 隐函数存在定理1 隐函数的求导公式 设二元函数 的某一邻域内满足: 在点 则方程 的某一邻域内 并有 (1) 具有连续偏导数; 它满足条件 在点 隐函数的求导公式 (2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边关于x求导, 由全导数公式,得 * 或简写: 于是得 隐函数的求导公式 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 * 如, 方程 记 (1) 的邻域内连续; 所以方程在点 附近确定一个有连续导数、 且 隐函数的求导公式 由隐函数存在定理1 的隐函数 则 (2) (3) * 解 令 则 隐函数的求导公式 例 * 则方程 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 并有 具有连续偏导数; 若三元函数 的某邻域内 函数 它满足条件 在点 在点 2. 由三元方程 确定二元隐函数 隐函数存在定理2 隐函数的求导公式 的某一邻域 (1) (2) (3) 满足: * 隐函数的求导公式 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边分别对x和y求导, 应用复合函数求导法得 是方程 所确定的隐 设 函数,则 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 因为 连续, 于是得 * 例 解 则 令 隐函数的求导公式 * 将 注 再一次对y求偏导数,得 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意: 导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时, 仍需用复合函数求导的方法. 隐函数的求导公式 * 例 设有隐函数 ,其中F的偏导数连续, 求 解 令 用复合函数求导法 法一 由公式. 隐函数的求导公式 * 将隐函数方程两边取全微分, 即 故 从而 此法步骤清楚 法二 利用全微分. 求 得 隐函数的求导公式 * 将方程两边求导. 对x求偏导: u v 即 同理可求得 z是 x,y 的函数! 法三 隐函数的求导公式 (或利用对称性,上式中 * 1991年研究生考题,填空,3分 解 法一 用公式 隐函数的求导公式 * 法二 用全微分 得 隐函数的求导公式 * 解 令 则 整理得 1. 2. 隐函数的求导公式 把z看成x, y的函数对x求偏导数,得 把x看成y, z的函数对y求偏导数,得 * ) , ( xyz z y x f z + + = 整理得 整理得 3. 隐函数的求导公式 把y看成x, z的函数对z求偏导数,得 * 下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 确定两个二元函数 求 隐函数存在定理3. 请看课本第34页, 故由方程组 求导方法. 隐函数的求导公式 二、方程组的情形(隐函数组) * 将恒等式 两边关于x求偏导, 解这个以 为未知量的线性方程组, 由链导法则得: 隐函数的求导公式 求 * 解得 当系数行列式不为零时, 即 雅可比行列式 Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851 隐函数的求导公式 * 同理, 两边关于y求偏导,得 隐函数的求导公式 求 * 特 如果方程组 它可能确定两个 现假定它确定 且两个函数都 则求 的方法同前面求 的方法相同. 为 可微, 别 一元函数, 隐函数的求导公式 * 例 解 分析 直接代入公式； 法一 令 隐函数的求导公式 * 隐函数的求导公式 * 隐函数的求导公式 * 方程组两边对 x求导 得 运用公式推导的方法. 法二 注意 隐函数的求导公式 * 例 设方程组 确定函数 解 直接代入公式； 运用公式推导的方法. 原方程组两边分别对 法二 法一 x求偏导数： 隐函数的求导公式 u与v都视为x,y的二元函数 * 解方程组得 移项得： 隐函数的求导公式 * (以下三种情况) 隐函数的求导法则 隐函数的求导公式 三、小结