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第二节 一 、数列极限的定义 定义: 例如, 例1. 已知 例2. 已知 例3. 设 二、收敛数列的性质 三、极限存在准则 例 证明 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) *3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55) 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、收敛数列的性质 一、 数列极限的定义 数列的极限 三 、极限存在准则 数学语言描述: 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S . 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 (刘徽割圆术) 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 趋势不定 收 敛 发 散 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为0 . 1. 收敛数列的极限唯一. 2. 收敛数列一定有界. 3. 收敛数列具有保号性. 若 有 则 且 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 1. 夹逼准则 (准则1) (P50) 证: 利用夹逼准则 . 且 由 数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 有 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则 运行时, 点击“（刘徽割圆术）”, 或按钮“刘徽”, 显示刘徽简介,并自动返回. 运行时点击相片或“柯西”按钮, 可出现柯西简介，并自动返回 目录 上页 下页 返回 结束