三角函数最值.docx

三角函数的最值及其应用摘 要: 三角函数是初等函数中的超越函数的一类特殊函数.本文将从生活实际出发,先介绍求解三角函数最值的几种方法,再分析他们的特点,最后归纳求解三角函数最值的几种比较典型的解题方法,通过用转化化简的思想、数形结合思想以及换元法找出一般的解题方法和技巧;最后介绍三角函数最值在数列、复数、解析几何、不等式等题型中的应用.关键词:三角函数 最值 转化 换元法Abstrct: This article will start from specific examples,which introduces , analyzes and concludes solving trigonometric function maximum problem of some kinds of basic method and several kinds of typical method of solving, by means of the thought of conversion reducibility,several models combined with ideas and change element method so as to find out general solutions and skills .Finally,it introduces the application of trigonometric function maximum in sequence, plural,analytic geometry,inequation and so on .Key words : Trigonometric function Optimum value Combine?numbers?with?shapes Change element method 1. 引言对于三角函数,首先它是一个角的函数,即自变量一般都是一个角.定义是给定一个角,在该角的终边上任意一点坐标是,它与原点的距离是,那么关于角的三角函数值都是与三者之前的比值关系.我们目前所要求掌握的只有其中六种,它们分别是正弦,余弦,正切,余切,正割,余割.虽然看起来很简单,但在题目中它会吧这几种放到一起,那时就显得繁琐,让人束手无策了.到了现在,不仅仅将它们抽象化看作映射,表示一个角的集合与一种比值集合之间的一一对应关系,还将角所在的平面三角形扩广到了球面三角形中,使其达到在测量上的应用为目的的一门科学.现在,三角学的研究范围已经相当广泛了,是研究实用科学所必需之工具.三角函数公式之间的恒等变换,已经突显出了公理化方法和推理论证的思想方法,要求具有较高的推理能力和运算能力,需站在代数学的观点上对各个公式进行推到,并需要熟练的掌握公式之间的推导过程及等量变换的过程.把含有这个角的直角/doc/704278.html三角形中两个边的比值,后来又引进单位圆,将其刻画为单位圆上的线段与单位圆半径之间的比值关系,也叫做三角函数,后被称为圆函数.现在还把将无穷级数或特定微分方程的解引入,使得三角函数更加丰富多彩,它所涉及的数系以扩充到了复数范围内.由上面的三角函数的定义可以看出,关于三角函数的最值问题属于三角函数相关知识的综合应用;而它的定义的范围领域也在逐渐扩,又加上它的实用性和多样性,使得它的应用价值之高,范围之广.在研究三角函数最值问题中,不仅仅会涉及到三角函数的定义、简单基本的性质、公式及其变换以及三角函数的图像[1],它还会涉及到数列、解析几何、方程等其他的知识,使得题目难度增大.2. 解决三角函数的最值问题的方法技巧2.1 借助于三角函数基本知识解决最值问题对于一些比较简单的三角函数求其最值问题,我们直接用三角函数的一些基础知识求解它的最值,比如,三角函数的定义、公式、图像等.2.1.1用三角函数的定义及其函数值在各象限的符号性质求.三角函数的值在四个象限中的符号性质如: yy 正 正 负 正 负 负 负 正 yy 负 正 负 正 正 负 正 负 例1 求解的值域范围.分析 利用三角函数在四个象限中的符号性质可以看出,解决此问题应当注意三函数值的符号变化规律,对这个角在四个象限中的符号进行分类讨论.解当在第象限时, ;当在第象限时, ; 当在第象限时, ; 当在第象限时, .所以,函数的值域为{ -2，0，4 }.2.1.2直接用三角函数的有界性确定最值,利用我们所熟悉的三角函数(如,)的有界性,帮助我们解决函数形如的有关最值的问题.这个比较简单,只需化成一个三角函数名一个角的函数(单名单角的函三角数)即可,就不一一举例说明了.2.2 利用转化与化归的思想化简求解最值的问题转化与化归的思想是在化简三角函数最