高考一轮复习_直线与圆的方程.doc

第七章直线与圆的方程 §7.1? 直线的方程 1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，则 （ ） A.0°≤＜180° B.0°≤＜135° C. 0°＜≤135° D. 0°＜＜135° 答案 D 2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 （ ） A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 B 3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 ( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案 A 4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 （ ） A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0 D.x+2y-5=0 答案 A 5.(2009·株州模拟)一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0 例1 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC， ∴A、B、C三点共线. 方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3， ∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线. 方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴=（2，4），=（1，2），∴=2. 又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线. 例2已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：的最大值与最小值. 解 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB, 由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴≤k≤8， 故的最大值为8，最小值为. 例3 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y=x，即2x-3y=0. 若a≠0，则设l的方程为， ∵l过点（3，2），∴， ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=, ∴直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. （2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为， 则所求直线的倾斜角为2. ∵tan=3,∴tan2==-. 又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0. 例4 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程. 解 方法一 设直线的方程为 (a＞2,b＞1), 由已知可得. 2分 （1）∵2≤=1，∴ab≥8. ∴S△AOB=ab≥4. 4分 当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0. 6分 （2）由+=1,得ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB| =· = ≥. 10分 当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 12分 方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 A、B（0，1-2k）. （1）S△AOB=（1-2k） =× ≥（4+4）=4. 当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+