圆形有界磁场中磁聚焦规律的证明及应用.doc

圆形有界磁场中“磁聚焦”规律的证明及应用 王波 （安徽省天长中学 239300） 摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情况，其中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，存在两条特殊规律：从边界上某点射入的相同粒子，其出射方向都平行于入射点的切线方向；反之，当从磁场边界上不同点以相同速度平行入射的相同粒子，又会聚焦于磁场边界上的同一点。这好比经过凸透镜焦点的入射光线，经凸透镜折射后变成平行光线；而平行主光轴入射的光线经凸透镜折射后会聚于焦点一样，我们可以称之为“磁聚焦”，以此为背景的题目中通常表现为设计磁场区域的问题。 关键词：圆形 有界磁场 磁聚焦 磁场设计 带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题，磁场的边界也有多种情况，其中圆形边界最为常见，而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，存在两条特殊规律。本文首先利用几何知识证明这两条规律的正确性，然后应用这两条规律来解决三个磁场区域设计题，这三个题目初次遇到都会感到难以下手。 规律及证明： 规律1：带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。 证明：如图1所示，实线圆⊙O表示一圆形有界磁场的边界，一个带电粒子（不计重力）从圆上的A点射入磁场，磁场圆的半径为R，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动半径也是R，AD为过A点的切线，粒子从边界上的C点沿CE方向射出，下面来证明AD∥CE： 如图2所示，设为粒子做圆周运动的圆心，连接OA、OC、A、C，因为磁场圆半径等于轨迹圆半径，故，则四边形OAC为菱形，可得：OA∥C，又因为OA⊥AD，则C⊥AD；因为C⊥CE，可得AD∥CE 说明： 在上述证明过程中，粒子的入射方向是任意的，而A点的切线方向是确定的，因此从A点射入磁场的所有粒子都会平行于AD方向射出，如图3所示。粒子的入射方向是分散的，但经过圆形有界磁场偏转后，转变为平行出射，好比光学中，经过焦点的入射光线经凸透镜折射后变为平行光线一般。 此规律的逆规律也是成立的，这就是规律2。. 规律2：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果磁场圆半径等于轨迹圆半径，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场。 证明： 如图4所示，在圆O中存在垂直纸面向里的匀强磁场，一束带电粒子的质量和电荷量相同，以相同的速度从不同位置射入磁场，已知圆形有界磁场的圆半径和带电粒子作圆周运动的半径相等，均为R，求证所有粒子都从磁场边界上的同一点A射出。 如图5所示，过O点建立平面直角坐标系，x轴平行入射方向，设入射点P与圆心O的连线OP与y轴正向的夹角为，则P点的坐标为（,）,轨迹圆的圆心 磁场圆的方程： 轨迹圆的方程： 求出两圆的交点坐标为：，其中为入射点P，则粒子的出射点A的坐标为：A（0，-R决定，不同的入射点对应不同的角，但出射点的位置A（0，-R无关，这说明无论入射点的位置如何变化，粒子都会从点A（0，-R应用 例1 电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时的速度方向不同，速度大小均为v0，如图6所示。现在某一区域内加一方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求： 荧光屏上光斑的长度。 所加磁场范围的最小面积。 解析：（1）如图7所示，通过对两个边界粒子的运动情况的考察，即可确定光斑位置：沿x轴正向射入的粒子，做半个圆周运动后从磁场射出，可以垂直荧光屏打在A点；沿y轴正向射入的粒子，做1/4个圆周运动后从磁场射出，可以垂直荧光屏打在D点。AD即为荧光屏上的光斑长度：. （2）由（1）中两个边界粒子的运动轨迹可以确定出磁场的一部分轮廓，但是射在AD之间的粒子，它们从磁场何处射出呢？这之间的磁场边界如何确定呢？ 根据规律1,如果加一个圆形有界磁场，且圆的半径恰好等于粒子的运动半径，则从磁场中同一点O射入的速率相等的相同带电粒子的出射方向都是平行的，刚好满足题意。故应加一个圆形有界磁场，并且由规律1可以确定此圆的位置：因为O点是磁场边界上的一点，且x轴为过O点的切线，故圆心应在（0，R）处，做出此边界圆与（1）中两粒子的轨迹共同组成要找的磁场边界，如图8中实线圆弧所示。其面积为： 例2（2009年海南卷） 如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。解析： （1）考察从C点垂直BC入射的电子，要想偏转到A点，则在C点受到的洛伦兹力必竖直向下，