高一数学不等式的证明人教实验版（B）知识精讲.docVIP

高一数学不等式的证明人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一、教学内容： 不等式的证明 二、学习目标 1、掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．对较复杂的不等式先用 分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。 2、在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。 3、掌握反证法的应用。 三、知识要点 1、比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤. 比较法的两种形式： ①比差法：要证ab，只需证a－b0。 ②比商法：要证ab且b0，只需证1。 说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断； ②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号； ③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。 基本不等式：（1）若则 当且仅当a=b时取等号。 （2） （3）a,b同号, 3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程,综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。 4、反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。 【典型例题】 例1、用反证法证明，若，则。 证明：假设不大于，则或 ∵ ∴ 与 或 这些都与已知相矛盾，则 例2、设求证 分析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法或比商法证明。 证法一：左边－右边= = = = ∴原不等式成立。 证法二：左边0，右边0。 ∴原不等式成立。 思维点拨：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩法，如证法二。 例3、 分析：已知条件很简单（仅有a≥3），而要证明的无理不等式较复杂，遵循化繁为简的原则，容易想到用分析法求证。 证法一： 证法二： 小结：分析法是寻求结论成立的充分条件，而不是从结论出发推证已知条件，故证明过程中一定要注意格式，“要证”“只要证”等词必不可少。在解决有关根式的问题时，“分子有理化”也是常用的技巧。 例4、已知为正数， 若，求的最小值； （2）若，求证：。 解：（1）∵ ∴ 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值为 （2） 当且仅当时，上式取等号 例5、已知，求证：。 证法一（综合法）： 证法二（分析法）：，为了证明， 只需证明 ， 即 ， ， ， . 成立， 成立 本讲涉及的主要数学思想方法 1、有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。 2、证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。 3、不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一、选择题 1. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 用反证法证明：“”，应假设（ ） A. B. C. D. 3、已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 实数不全为0的条件是（ ） A. 均不为0 B. 中至少有一个为0 C. 中至多有一个为0 D. 中至少有一个不为0 5. 已知2a3，，则下列各式中正确的是（ ） 6、设，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7、若，那么这三个数之间的大小顺序是__________。 8、若，且，下列不等式：① ；② ；③ ，其中不成立的是 。 9、关于x的不等式的解集为R，那么实数 。 三、解答题 10、a、b、c为不全相等的实数。求证：。 11、已知。