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§5.7 平面直角坐标变换 为了考虑同一图形在不同的坐标系下的方程之间的关系，我们首先需要建立同一个点在不同的坐标系下的坐标之间的关系，这就是坐标变换的问题，因为我们研究的图形是点的轨迹． 我们仅考虑平面直角坐标变换． 设在平面上给出了由两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i', j' } 所决定的右手直角坐标系，这里i和j以及i' 和j' 是两组坐标基向量，它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系． 由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O' 在 {O；i, j } 中的坐标以及i' 和j' 在 {O；i, j } 中的分量所决定． 任一直角坐标变换总可以分解成移轴（也叫坐标平移）和转轴（也叫坐标旋转）两个步骤． 1．移轴 如果两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i, j' } 的原点O与O' 不同，O' 在{O；i, j }中的坐标为 (x0，y0)，但两标架的坐标基向量相同，即有 i' = i， j' = j 那么标架 {O'；i', j'} 可以看成是由标架 {O；i, j } 将原点平移到O'点而得来的（图5.7.1）．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）． 设P是平面内任意一点，它对标架 {O；i, j} 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 ()，则有 但 ， ， 于是有 故 {x，y} = {x0，y0} ＋ {x'，y' } 根据向量相等的定义得移轴公式为 图5.7.1 (5.7－1) x' 和y'，就得逆变换公式为 (5.7－2) 2 若两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i', j'} 的原点相同，即O = O'，但坐标基向量不同，且有∠(i，i' ) = (，则标架 {O'；i'，j'} 可以看成是由标架 {O；i，j } 绕O点旋转( 角而得来的（图5.7.2）．这种由标架 {O；i，j } 到标架 {O'；i'，j'}的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）． 下面推导转轴公式． 设P是平面内任意一点，它对 {O；i, j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 ()，即有 因为∠(i，i' ) = (，新旧坐标基本向量之间有关系 图5.7.2 于是有 因为O和O'是同一点，，故可直接得到转轴公式： (5.7－3) 5.7－3x' 和y '，就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式： (5.7－4) ( 为坐标轴的旋转角． （5.7－4 {O；i'，j'} 绕O旋转－ ( 角变到 {O；i，j} 的转轴公式． * 根据线性代数的理论，（5.7－3，这里的坐标变换的矩阵是一个正交矩阵，因而其逆矩阵，逆变换公式可以直接由写出． 3．一般坐标变换公式 在一般情况下，由旧坐标系O－xy变成新坐标系O'－x'y'，总可以分两步来完成．即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O' 重合，变成坐标系O'－，然后再由辅助坐标系O'－x"y" 转轴而成新坐标系O'－x'y'（图5.7.3）． 设平面上任一点P的旧坐标与新坐标分别为 (x，y) 与 (x'，y' )，而在辅助坐标系O'－x"y" 中的坐标为 (x"，y" )，那么由（5.7－15.7－4 与 由上两式得一般坐标变换公式为 图5.7.3 (5.7－5) 5.7－5x'，y' 便得逆变换公式 (5.7－6) 5.7－5 (x0, y0) 与坐标轴的旋转角 ( 决定的． 4．由给定的新坐标轴确定的坐标变换 确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法． 假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程，并规定了一个轴的正方向，就可以确定又一种坐标变换公式． 设在直角坐标系xOy里给定了两条相互垂直的直线 l1：， l2： 其中．如果取直线l1为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是（x，y）与（x'，y'）．因为 | x' | 是点M（x，y）到O'y' 轴的距离，也就是M点到l2的距离（图5.7.4），所以有 图5.7.4 同理可得 于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式 (5.7－7) 5.7