高等数学 第一章 函数极限与连续 教案.docVIP

【教学内容】§1.1 函数 【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 （1） 2、实数的绝对值 （1） （2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① ，② 3、区间 （1）与均为实数，且，则 数集{}为以、为端点的闭区间，记作[，] 数集{}为以、为端点的开区间，记作（，） 数集{}为以、为端点的半开半闭区间，记作[，） 数集{}为以、为端点的半开半闭区间，记作（，] 区间长度： ② 无限区间 数集{}记作[，）， 数集{}记作（，） 数集{}记作（，]， 数集{}记作（，） 实数集R记作（，） （3）邻域 ① 邻域：设与均为实数，且，则开区间（，）为点的邻域 记作，其中点为邻域的中心，为邻域的半径。 ② 去心邻域：在的邻域中去掉点后，称为点的去心邻域，记作 （二）、函数的概念 1、函数的定义： 设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则，使得对于每一个，都有一个惟一的实数与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数. 记作，其中为自变量，为因变量，习惯上称是的函数。 定义域：使函数有意义的自变量的全体，即自变量的取值范围D 函数值：当自变量取定义域D内的某一定值时，按对应法则所得的对应值 称 为函数在时的函数值，记作。 值 域：当自变量取遍D中的一切数时，所对应的函数值构成的集合，记作M， 即 函数的二要素： 定义域、对应法则 【例1.1 设 ，求（1）；（2）． 1）； （2） 【例1.2】 设，求，. ，=．， （2） （1）； （2）=．1）2）函数的定义域是[0，2]． ； 符号函数 取整函数 现行出租车的收费标准： 其中表示不小于的最小整数 （2）列表法：将一系列自变量的数值与对应的函数值列成表格表示函数的方法 （3）图形法：用图形表示函数的方法 说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 3、函数的性质 （1）单调性 定义：设函数的定义域为D，区间ID，若对I内的任意两点，当时， ，则称在I上单调增加；若当时，有，则称 在I上单调减少，区间I称为单调区间. 说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。 （2）奇偶性 定义：设函数在D上有定义，若对于任意的，都有，则称 为偶函数；若有，则称为奇函数. 性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称. 【例4】 判断下列函数的奇偶性． （1） ； (2)； （3）； （4）． 答：(1) 偶函数； (2) 奇函数； （3）偶函数； （4）非奇非偶函数．D，若存在一个正数M，使得对任意的，恒有 ，则称函数y=f(x)在区间I上有界。若不存在一个正数M，则称函数 在区间I上无界. 说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。 例如：与都在（）内有界. 在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界 （4）周期性 定义：设函数在D上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的，恒 有，则称是以T为周期的周期函数. 最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期 说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期 例如：的周期是2，的周期是，的周期是. 函数,（为常数）是周期函数，但不存在最小正周期, （三）、反函数 1、定义：设函数，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个，有惟一 的一个与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为 因变量的函数，称此函数为的反函数，记作 说明：的定义域为M，值域为D. 因习惯上自变量、因变量分别用、表示，则的反函数表示为 例如：的反函数是， 其定义域就是的值域，值域是的定义域 2、性质：函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称 3、反函数的存在性： 一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有