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成人高考讲义（九） 第九章 平面解析几何 一、曲线与方程 若一条曲线对应于方程。如一条直线对应于方程Ax+By+C=0；又如一条抛物线对应于方程++c。有： ⑴曲线上每一点的坐标（，），代入方程后方程都成立； ⑵方程的每一组解、，所表示的点都在曲线上。 那么我们把这条曲线叫做这个方程的曲线，反过来。这个方程叫做这条曲线的方程。 1、求曲线的交点： 有了上面的概念，则求两条曲线的交点，就是求这两个曲线方程联立的方程组得解。 例1 求两条曲线和的交点. 解：由方程组 解得 所以它们的交点为（-7，）和（1，）. 2、已知曲线上点的坐标，求曲线方程： 这种问题在计算上稍微麻烦一些，但主要方法是采用待定系数法。就是首先设出方程的一般形式，然后利用解方程组得办法求出待定系数，在将求出的待定系数代回所设方程即可。 例2 设一次函数的图像经过点（1, 7）和（0, 2），求直线的方程. 解：设一次函数为+ . 由题意的方程组 解方程组得=5，b=2 这个一次函数是5+2 所以直线方程为5-+2=0 二、直线 这一部分主要是建立直线方程。 1、直线的倾斜角和斜率： ⑴直线的倾斜角 把直线向上的方向与x轴的正方向 所成的角叫做直线的倾斜角，记作：. 如图 直线的倾斜角是，且0°＜＜90°； 直线的倾斜角是，且90°＜＜180°； 直线的倾斜角是，且=0°； 直线的倾斜角是，且=90°。 直线的倾斜角的取值范围是 0°＜＜180°。 ⑵直线的斜率 我们把直线倾斜角的正切值叫做直线的斜率，并记为k，即 k=tan① 因为直线的倾斜角=90°，又因为在正切函数中角是不能等于90°，所以当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在。这就是说每一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率。 如果已知直线上两点A（，），B（，），则该直线的斜率 K= ②. 如果已知直线方程是Ax+By+C=0，则该直线的斜率 K= ③ 所以，直线的斜率可以通过①、②和 ③三种公式求得。 2、 重要的的直线方程形式： 名称 已知条件 方程形式 说明 点斜式 直线的斜率k和直线上一点p（，） 与x轴垂直的直线不能用此公式 两点式 直线上两点A（，），B（，） 与x轴、y轴平行的直线不能用此公式 斜截式 直线的斜率k和直线与y轴交点（0，b） + 与x轴垂直的直线不能用此公式 一般式 已知A、B、C Ax+By+C=0 A、B不能同时为0 特殊式 平行于y轴且过点（，0） X= K=0 平行于x轴且过点（0，b） y=b K不存在 根据题中所给的条件，代入表中对应的公式，就可以求出直线的方程。 3、两条直线的位置关系： 由图形我们可以看出当两条直线平行时，它们的倾斜角是相等的，所以它们的斜率也相等；当两条直线垂直时，它们的倾斜角互补，所以它们的斜率互为负倒数。即 若∥，则，反之也成立； 若⊥，则，即，反之也成立。 4、点到直线的距离： 直线：Ax+By+C=0外有一点P（，）， 则p点到直线的距离d为 例3 求过点P（1,2），且与直线：平行的直线方程. 解：已知直线的斜率 k=-2，又因为所求直线与平行 所以所求直线的斜率等于-2 由直线方程的点斜式可得 化简后的所求直线的方程为. 例4 求过点P（1,2），且与直线：垂直的直线方程. 解：已知直线的斜率 k=-2，又因为所求直线与垂直 所