高中新人教B版数学选修1-1课件3章末 33张.ppt

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 章末归纳总结 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具． 1．导数的应用主要有以下几个方面： (1)利用导数研究函数的单调性，求单调区间； (2)利用导数求函数的极值和最值； (3)利用导数研究函数、方程、不等式和曲线切线问题； (4)利用导数研究实际问题． 利用导数刻画函数的方法比初等方法精确细微；利用导数可用于研究平面曲线的切线；在实际问题中，主要是利用导数求实际问题的最大(小)值，将实际问题数学化后，常见的情形是，该数学问题用初等方法求解往往技巧性要求较高，而用导数方法则显得简便． 另外，导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型．高考中常用这种题目考查学生的综合能力． 1．应熟练掌握导数的四则运算法则． 2．熟练掌握导数在常见问题中的一般方法，这是正确解题的关键． 2．导数的意义 (1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． (2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体运动在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是物体运动在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝v′(t)． [答案]　4x－y－4＝0 用导数解决不等式问题是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容． ∴x＝x0是其方程的唯一实数根． 即方程f(x)＝g(x)＋3在区间[1，＋∞)上恰有一个实数根． 利用导数研究函数的极大(小)值，函数在闭区间[a，b]上的最大(小)值是本章的重点，求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值，因此，求函数的极值是关键． 求函数极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并判断f′(x)在各区间的符号； (4)结合f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况，并求出这个极值． (2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值； (2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. [解析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力． 解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明． (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln2＋a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)， f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．