高中新人教B版数学选修1-1课件3-3-1利用导数判断函数的单调性 39张.ppt

一、选择题 1．函数y＝x3的递减区间是 (　　) A．(－∞，＋∞)　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．不存在 [答案]　D [解析]　∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立， ∴函数y＝x3在R上是增函数． 2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上 (　　) A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减 D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案]　A [解析]　f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立． 3．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案]　D [解析]　考查导数的简单应用． f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 二、填空题 4．函数f(x)＝x3－x的增区间是____________和____________，减区间是____________． 5．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________． [答案]　a≥3 [解析]　由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立， 即a≥3x2，因为x∈(－1,1)，故a≥3. 三、解答题 6．已知x＞1，求证x＞lnx. [证明]　设f(x)＝x－lnx(x＞1) 3．3　导数的应用 1．知识与技能 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2．过程与方法 通过对函数单调性与导数关系的研究，掌握用导数研究函数单调性的方法． 3．情感、态度与价值观 通过实例探究函数的单调性与导数的关系，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力． 本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性． 本节难点：函数的导数与单调性的关系． 1．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间． 1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是 的； (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是 的． 2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间上为 ；如果函数y＝f(x)在自变量x的某区间上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为 ． 单调递增 单调递减 严格增函数 严格减函数 [例1]　求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间． [解析]　函数的定义域为(0，＋∞) [解析]　(1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)． [说明]　实质上就是证明不等式f′(x)>0在(0,2)上恒成立． [解析]　f(x)的定义域为(－1,1)，函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性． ∴当b>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数； 当b<0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数． 又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以可知： 当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数； 当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数． [例4]　已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围． [解析]　解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t. f′(x)＝－3x2＋2x＋t， ∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数． ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立， ∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立． 解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1) ＝－x3＋x2＋tx＋t. f′(x)＝－3x2＋2