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平行四边形的存在性典例分析及训练
破解策略
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.
这类题,一般有两个类型:
(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题:
以A,B,C三点为顶点的平行四边形构造方法有:
①作平行线:如图,连结AB,BC,AC,分别过点A,B,C作其对边的平行线,三条直线的交点为D,E,F,则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.
②倍长中线:如图,延长边AC,AB,BC上的中线,使延长部分与中线相等,得点D,E,F,连结DE,EF,FD,则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.
(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题:
先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题,再构造平行四边形.
解平行四边形存在性问题,无论是以上哪种类型,若没有指定四边形顶点顺序,都需要分类讨论.
通常这类问题的解题策略有:
(1)几何法:先分类,再画出平行四边形,然后根据平行四边形的性质来解答.
如图,若AB∥CD且AB=CD,过B,C作一组平行线BE,CF,过A,D作一组平行线AE,DF,则△AEB≌△DFC,从而得到线段间的关系式解决问题.
(2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.
如图,已知平行四边形ABCD,连结AC,BD交于点O.设顶点坐标为Ax
①利用平移的性质求未知点的坐标:
x1?x
②利用中点坐标公式求未知点的坐标:
x
有时候几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好.
例题讲解
例1如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0),B(0,-3),P是直线AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的表达式;
(2)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)将点A,B的坐标代入抛物线的表达式,得y=x2?2x?3.
设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A,B的坐标代入,得y=x-3.
(2)存在.
因为PM∥OB,所以当PM=OB时,四边形即为平行四边形.
根据题意设点P的坐标为(p,p-3),则点M的坐标为p
所以||
解得p=3±212
例2如图,抛物线y=ax2+bx+c过.A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,抛物线的顶点为P.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直线y=2x+3上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)将点A,B,C的坐标代入抛物线的表达式,得y=?x2?2x+3.
(2)存在.
当x=?b
如图,通过平移的性质易求得满足平行四边形的点M的坐标为M?
将M?,M?,M?的坐标分别代入直线方程y=2x+3,经检验满足题意的点M的坐标为(?2?1
例3如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(--1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)将点C,D的坐标代入抛物线的表达式,得y=x2+2x?3.
(2)存在.
令x2+2x?3=0,解得x?=1,x?=?3,
所以点A的坐标为(-3,0),B的坐标为(1,0).
由点F在抛物线上可设点F的坐标为m
方法一:①如图1、图2,当AC为平行四边形的边时.
过点F作FP垂直于抛物线的对称轴,垂足为P.
易证△PEF≌△OCA.
所以PF=AO=3,
从而点F的坐标为(2,5)或(-4,5).
②如图3,当AC为平行四边形的对角线时.
过点F作FP⊥y轴于点P.令抛物线的对称轴交x轴于点Q,
易证△PCF≌△QEA.
所以PF=AQ=2,从而点F的坐标为(-2,-3),此时点F与点C纵坐标相同,所以点E在x轴上.
方法二:①如图3,当AC,EF为平行四边形的对角线时,可得x
又因为点E在抛物线的对称轴上,
所以m=-2,
则点F的坐标为(-2,-3).
②如图1,当AE,CF为平行四边形的对角线时,可得x
又因为点E在抛物线的对称轴上,所以m=-4,
则点F的
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