2024年中考数学复习--有关圆的解法和证明专项练习.docxVIP

有关圆的解法和证明专项练习

圆可以和直线型所有知识融合在一起，集几何之大成，中考中可以在选择题、填空题、解答题等试题中呈现.本专题主要讲解圆中角度、线段、面积等基础知识的运用，并结合典型题的解证总结和概括解题规律和解题方法.主要知识点有：①圆周角、圆心角、圆内角、圆外角及它们所对的弧之间的关系；②圆中的直角三角形，主要是作垂线运用垂径定理、直径所对的圆周角是直角和切线性质；③切线的两种判定方法，三种位置关系向数量关系转化；④面积的计算等.

引例热身

1.如图,在⊙O中,∠ABC=20°,∠DAC=24°,则∠ADO的度数为()

A.43°B.44°C.45°D.46°

2.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为()

A.1B.2C.2D.

3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,AB=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转，使点C落在AB的延长线上的点D处，则阴影部分的面积是()

A.12πB.36πC.27πD.30π

思路指引

1.

2.

3.

点拨分析

1.给出的已知角都是圆周角，连接OA，OC构成圆心角，找圆心角与圆周角的关系是关键，而它们所对的同一条弧是桥梁.联想到同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，得∠AOC=2∠ABC=40°,∠COD=2∠CAD=48°,可求得∠AOD=88°.由等腰三角形OAD,得∠ADO=∠OAD=1

2.从图中可以看出，连接OB，可得.△OBD是直角三角形，由四边形OABC是菱形和同圆半径相等，得∠AOB=60°.根据直角三角形的边角关系，得(0B=1,BD=3

3.从图中可以看出，由旋转可知，寻找旋转中的不变量，可以把阴影部分的面积转化为一个扇面，即两个扇形面积的差.确定两个扇形的半径，求出扇形所在的圆心角度数，可求出阴影面积为27πcm2

典例串烧

例1已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线交于点P，CP与⊙O交于点D.

(1)如图①,若△ABC为等边三角形,求∠P的大小.

(2)如图②,连接AD,若PD=AD,求∠ABC的大小.

思路指引

(1)

(2)

迷津指点从条件出发,连接OA,由切线的性质,得∠PAO=90°.

(1)由△ABC是等边三角形,得∠B=60°,可推出.∠AOC=120°,从而得出∠P=30°.

(2)由PD=AD,得∠P=∠PAD,而OA=OD,∠OAD=∠ADO=2∠P=2∠PAD,且∠PAO=90°,可得∠P=∠PAD=30°,∠AOC=120°,所以∠ABC=60°.

针对训练1.如图,AB为⊙O的切线,切点为A,OB交⊙O于点C,点D在⊙O上,且OD∥AC,若∠B=38°,则∠ODC的度数为()

A.46°B.48°

C.52°D.58°

例2如图,已知MN是⊙O的直径,P点是⊙O上的一点,NP平分∠MNQ,且NQ⊥PQ.

(1)求证:直线PQ和⊙O相切.

(2)若∠MNP=30°,PQ=3,求⊙O的半径.

路指引

(1)因为点P在圆上，根据切线的判定定理，推断出要证明直线PQ和⊙O相切，需连接OP，构成角平分线加等腰三角形的基本图形，从而得到OP∥NQ，而NQ⊥PQ,故可得OP⊥PQ,直线PQ是⊙O的切线.

(2)连接MP,如图,MN是⊙O的直径,所以∠MPN=90°.在Rt△PQN中,∠PNQ=∠MNP=30°,可求得.PN=2PQ=23

针对训练2.如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OE⊥AD,OE与AB的延长线交于点E,点C在OE上,满足∠CBE=∠ADB.

(1)求证:BC是⊙O的切线.

(2)若∠CBE=∠ADB=30°,OA=3,求线段CE的长.

例3如图,在四边形ABCD中,AB‖DC,∠B=∠D.过点C作