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线段和(差)最值分类练习
类型1:将军饮马
问题背景:古代有一位将军,清晨习惯性地从营地A牵着自己的爱马,来到河边P处喝水,喝完水之后,再牵着马去到练兵场B(图10.50),在此过程中,将军就想如何能让总路程(AP+BP)最短,实现体力的最小消耗.我们把此问题称为将军饮马问题,进而产生了一系列的变式问题,见表10.4.
表10.4
常见问题
作法
图形
原理
两定一动:
AP+BP最小
作定点A关于河流l的对称点A
AP+BP≥AB两点之间线段最短
两定两动:
四边形PMNQ周长最小
分别作两定点P,Q关于两条河流的对称点P,Q
PM+MN+NQ≥PQ两点之间线段最短
两定两动:
AM+BN最小
已知:MN=a,将点A向右平移a个单位得到点A,对称A到A,连接AB
AM+NB≥AB两点之间线段最短
一定两动:
△PMN周长最小
作定点P关于两条河流的对称点P,P
PM+MN+PN≥PP两点之间线段最短
一定两动:
AP+PQ最小
已知:∠1=∠2,P,Q为各自边上的动点,作定点A关于射线OP的对称点A
AP+PQ=AP+PQ≥AB
点到直线的距离垂线段最短
|AP-BP|最大
作定点B关于河流的对称点B,连接AB交直线于点P
|AP-BP|=|AP-BP|≤AB
三角形任意两边之差小于第三边
解题方法概括
将军饮马问题总结起来就是两类问题:
第1类:求线段和的最小值,那就需要把河流同侧的一个定点对称到河流的异侧,利用“两点之间线段最短”求解即可,简称“和小异”;
第2类:求线段差的最大值,那就需要把河流异侧的一个定点对称到河流的同侧,利用“三角形的第三边大于两边之差”求解即可,简称“差大同”
类①:两定一动
1.如图10.51所示,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,,动点P满足SPAB=13S矩形ABCD
2.如图10.52所示,点P为矩形ABCD的对角线AC上的一个动点,点E为BC的中点,连接PE,PB.若AB=4,BC=43,则PE+PB的最小值为
3.如图10.53所示,MN是⊙O的直径,MN=4,,点A在⊙O上,.∠AMN=30°,,B为?AN的中点,P是直径MN上的一个动点,则.PA+PBPB的最小值为.
4.如图10.54所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A,⊙B的半径分别为2和1,P,E,F分别是边CD,⊙A,⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是.
5.如图10.55所示,在△ABC中,AB=AC=105,BD,CE为△ABC的两条中线,且BD⊥CE于点N,M为线段BD上的动点,则.AM+EMM的最小值为
类②:两定两动
6.如图10.56所示,∠AOB=30°,,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则.MP+PQ+QN的最小值是.
类型2:费马点
见表10.5.
表10.5
问题
作法
图形
原理
平面内有一点P,点P到△ABC(三个内角均小于120°)三个顶点的距离和何时最小?
将△PBC绕着点B逆时针旋转60°,连接PP,AC.故(AP+BP+CP)min=(AP+PP+CP)min=AC,此时A,P,P,C共线,且∠APB=∠APC=∠CPB=120°,满足条件的点P叫作费马点
两点之间线
段最短
核心思想:
手拉手模型
的构造
注:若三角形有一个内角大于或等于120°,那么这个顶点就是费马点.
实例剖析
如图10.75所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点P为Rt△ABC的费马点,连接AP,BP,CP,则PA+PB+PC的值为.
【答案】7
【分析】如图10.76所示,将△APB绕点B顺时针旋转(60°至△APB处,连接P
.
因为∠APC=∠CPB=∠BPA=120°,,所以∠CPB+∠BPP=∠B
在Rt△ABC中,AC=
7.已知三村庄A,B,C构成了图10.77所示的.△ABC(内角均小于120°),其中∠B=30°,,现选取一点P打水井,使水井P到三村庄A,B,C所铺设的输水管总长度最小,则输水管总长度的最小值为.
8.如图10.78所示,矩形ABCD是一个长为1000m、宽为600m的货场,A,D是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路A
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