2024年中考数学复习--有关四边形的解法和证明专题练习.docxVIP

有关四边形的解法和证明专题练习

四边形中涉及平行四边形和特殊的平行四边形的有关性质和判定的知识较多，这些知识容易混淆，而且既涉及全等的有关知识，又涉及相似的有关知识，最近几年有关几何探究的试题已成为中考的热点，经常以四边形有关知识为背景，设置相关计算和证明.转化的思想方法在这一部分中体现得非常明显，如经常转化为三角形的全等或相似来解决相关问题，还有特殊和一般的关系，经常从边、角、对角线、对称性等方面去考虑，关于面积的求法也比较灵活，如常用割补或等积变形等方法.

引例热身

1.在平行四边形ABCD中，满足什么条件，能使四边形AECF是平行四边形(至少写出三个)?请简要说明理由.

2.顺次连接四边形各边中点所形成的四边形叫中点四边形.如图四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形.满足什么条件，能使四边形EFGH是矩形、菱形、正方形?

3.矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将△BCD沿BD翻折,试求阴影部分的面积.

思路指引

1.

2.

3.

点拨分析

1.要证四边形AECF是平行四边形，可以从边、对角线等角度思考如何得到四边形AECF是平行四边形.E，F分别是对角线BD上的两个点，而平行四边形对角线互相平分，只需满足AC和EF互相平分即可，所以可以添加.BE=DF;或者添加AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F，再通过全等证出一组对边平行且相等；或者添加AE和CF分别平分∠A和∠C，也可以通过全等证出四边形AECF是平行四边形.

2.根据题目中点的条件，可以连接对角线，由三角形中位线定理可得中点四边形一定是平行四边形，而且中点四边形的形状一定和对角线的关系有关，可以运用逆推的方法，由四边形EFGH是矩形、菱形、正方形反推出对角线的关系，由此可得出对角线AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形;当AC=BD时,四边形EFGH是菱形;当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形.

3.联想到三角形的面积，若DE为底，则高AB=6是已知的，所求目标转化为求DE.根据翻折可证得BE=DE(平行线+角平分线，推出等腰三角形或证全等)，可以把已知量和未知量统一到一个三角形中，利用勾股定理来解决问题.可设BE=DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中,由勾股定理,得62+8?x2=x2,解得x=25

典例串烧

例1如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,点E是AD的中点,过A点作AF∥BC,且交CE的延长线于点F,连接BF.

(1)求证：四边形AFBD是平行四边形.

(2)当AB=AC时,求证:四边形AFBD是矩形.

(3)在(2)中△ABC再增加条件,则四边形AFBD是正方形.

思路指引

迷津指点(1)四边形AFBD对边已经平行，根据判定，只需证另一组对边平行或这组对边相等即可，结合已知条件，由平行线加中点的条件可证得△AEF≌△DEC，可得FA=CD,而BD=CD,可证出FA=BD,故四边形AFBD是平行四边形.(也可由全等证出点E是FC的中点，由中位线定理得出FB∥AD)

(2)因为AB=AC，点D是BC的中点，由等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，根据矩形的定义证出四边形AFBD是矩形.

(3)由矩形到正方形，只需邻边相等即可，即.AD=BD,所以添加的条件是∠BAC=90°或∠ABC=45°.

★针对训练1.如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作垂线EF,与边AD,BC分别交于点E,F,连接BE,DF.

(1)求证:四边形EBFD是菱形.

(2)若AD=8,AB=4,求四边形EBFD的周长.

例2如图,在△ABC中,AB=AC,延长中线AD到点E,作∠AEF=45°,点P从点E开始沿射线EF方向以2cm/s

(1)求AB的长.

(2)若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值.

思路指引.

(1)

(2)

迷津指点(1)根据题意,可以求得QE=2,得DQ=4,由四边形ABQC是菱形可知AD=4,再由勾股定理得.AB=2

(2)∵PE=2,∴QE=t.根据线段之间的关系，一共有四种情况：当BC=CQ时，求出DQ,则.EQ=DE?DQ=6?23,可得t=6?23;当AB=AQ时,DQ=AQ-AD=25-4,EQ=DE-DQ=6-(25-4)=10-25=2

综上所述，t的值是6?23或

针对训练2.如图,在正方形ABCD中,AB=5cm,,点E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过点E作.EF⊥AE,交直线BC于点F，点E从点B出发，