微练(八)　函数的单调性与最值.docx

微练(八)函数的单调性与最值

基础过关

一、单项选择题

1.下列函数在区间(0,1)上单调递增的是(D)

A.y=-x3+1 B.y=cosx

C.y=log12x D.y=x

解析y=-x3+1,y=cosx,y=log12x在(0,1)上都单调递减,y=x-1x在(0,1)

2.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是(A)

A.(3,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,-1)

解析由已知易得x+10,x?30,即x3,f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)=log0.5[(x+1)(x-3)],x3,令t(x)=(x+1)(x-3),则t(x)在(3,+∞)上单调递增。又00.51,所以f(x)

3.函数y=x2?2x

A.最小值2 B.最小值2

C.最大值2 D.最大值2

解析易知y=(x?1)2+2,因为(x-1)2+2≥2,所以y≥

4.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是(D)

A.y=1f

B.y=|f(x)|在R上为增函数

C.y=-1f

D.y=-f(x)在R上为减函数

解析设f(x)=x,则y=1f(x)=1x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错误;y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错误;y=-1f(x)=-1x的定义域为

5.(2023·南昌四校联考)已知函数f(x)=3x-2cosx,若a=f(32),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是(D)

A.abc B.cab

C.bac D.bca

解析对f(x)=3x-2cosx求导,得f(x)=3+2sinx,则有f(x)=3+2sinx0在R上恒成立,则f(x)在R上为增函数。又2=log24log27332,所以bca。

6.(2023·郑州质检)已知函数f(x)是定义域为[0,+∞)的减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)-1的实数x的取值范围是(C)

A.(3,+∞) B.(-∞,3)

C.[2,3) D.[0,3)

解析f(x)在定义域[0,+∞)上是减函数,且f(2)=-1,所以f(2x-4)-1可化为f(2x-4)f(2),所以2x?4≥0,2x?42,

二、多项选择题

7.已知函数f(x)=x-ax(a≠0),下列说法正确的是(BCD)

A.当a0时,f(x)在定义域上单调递增

B.当a=-4时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞)

C.当a=-4时,f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞)

D.当a0时,f(x)的值域为R

解析当a0时,f(x)=x-ax,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,故A错误;又x→-∞时,f(x)→-∞,x→0-时,f(x)→+∞,所以f(x)的值域为R,故D正确。当a=-4时,f(x)=x+4x,由其图象(图略)可知

8.已知函数f(x)=lnx+2

A.f(x)在R上为增函数

B.f(e)f(2)

C.若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≤-1或a≥0

D.当x∈[-1,1]时,f(x)的值域为[1,2]

解析易知f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上单调递增,A错误,B正确;若f(x)在(a,a+1)上单调递增,则a≥0或a+1≤0,即a≤-1或a≥0,故C正确;当x∈[-1,0]时,f(x)∈[1,2],当x∈(0,1]时,f(x)∈(-∞,2],故x∈[-1,1]时,f(x)∈(-∞,2],故D不正确。

三、填空题

9.函数y=log12|x-3|的单调递减区间是

解析令u(x)=|x-3|,则在(-∞,3)上u(x)为减函数,在(3,+∞)上u(x)为增函数。又因为0121,y=log12u(x)是减函数,所以在区间(3,+∞)上,函数y=log1

10.设函数f(x)=2xx?2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则m2M

解析f(x)=2xx?2=2x?4+4x?2=2+4x?2在[3,4]上是减函数,所以f(x)min=f(4)=4,f(x)max=f(3)=6,所以M=6,

11.设函数f(x)=?x2+4x,x≤4,log2x,x4。

解析函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4。

四、解答题

12.已知函数f(x)=x+2

(1)写出函数f(x)的定义域和值域;

(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值。

解(1)定义域为{x|x≠0}。又f(x)=1+2x,所以值域为{y|y