湖北省部分重点中学2024届高三上学期第二次联考数学.docx

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考

高三数学试卷

试卷满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（）

A．3 B． C．7 D．13

3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（）

A． B．32π C． D．

4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（）

A． B．

C． D．

5．若，则（）

A． B． C． D．

6．设A，B为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（）

A． B．

C． D．

7．已知对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

8．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．下列结论正确的是（）

A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17

B．若随机变量，满足，则

C．若随机变量，且，则

D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关）

10．下列命题正确的是（）

A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列

B．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列

C．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列

D．若数列的前n项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件

11．已知，则下列关系中正确的是（）

A． B． C． D．

12．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点，且，点N为平面PAB内一点，，下列说法正确的是（）

A．存在入使得直线PB与AM所成角为

B．不存在使得平面平面PBM

C．若，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为

D．三棱锥外接球体积最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中的系数为______．

14．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为______．

15．已知函数，若，则实数a的取值范围为______．

16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则______；若，则的最大值为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为2．

（1）求角A；

（2）求边a的最小值．

18．（本题满分12分）

已知等比数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

19．（本题满分12分）

如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，D，E分别是线段AC，的中点，平面平面．

（1）求证：平面BDE；

（2）若点P为线段上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．

20．（本题满分12分）

已知椭圆的左焦点为，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．

21．（本题满分12分）

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．

（1）求的概率分布列并求；

（2）求证：为等比数列，并求出．

22．（本题满分12分）

已知函数，．

（1）当时，求证：；

（2）函数有两个极值点，其中，求证：．

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高三数学试卷参考答案

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