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参考答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.答案:C
解析:解:由知,且,解得.
2.答案:C
解析:因为,所以.又因为,,所以,当且仅当时取等号.由题意可得,即,则m的最大值为3.故选C.
3.答案:A
解析:由不等式,
得.
设函数,则,
所以在R上单调递增.
因为,
所以.解得或.
故选:A.
4.答案:C
解析:根据已知有:因为复数z满足:,即,故或,因为复数z所对应的点在第四象限,故复数,所以.故选C.
5.答案:D
解析:设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为,则
由题意可知,,
因此有
,
即,
解得,
因为,
所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
故选:D.
6.答案:D
解析:因为E是棱AB的中点,F是棱CD上靠近点C的四等分点,所以,所以.因为,
,
,所以.故选D.
7.答案:A
解析:根据双曲线的对称性,不妨在双曲线右支上取点P,延长,交于点Q,图略.由角平分线性质及可知.根据双曲线的定义得,,从而,在中,OH为其中位线,故.故选A.
8.答案:A
解析:因为,
所以,设,,则,,
令
恒成立,故单调递减,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
故所以,得到.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.答案:ABD
解析:由于集合有且仅有两个子集,所以,.因为,所以.,当且仅当,时等号成立,故A正确.,当且仅当,即,时等号成立,故B正确.不等式的解集为,则,故C错误.不等式的解集为,即不等式的解集为,且,又因为,,所以,所以,故D正确.选ABD.
10.答案:ABC
解析:点M在以AB为直径的圆上,故问题等价于圆O与圆C有公共点,所以,解得,故选ABC.
11.答案:BCD
解析:因为直线的斜率为3,直线的斜率为,所以直线,一定相交,交点坐标是方程组的解,解得所以交点坐标为.当时,直线与x轴垂直,方程为,不经过点,所以三条直线能围成三角形.当时,直线的斜率为.若直线与直线的斜率相等,则,即,此时这两条直线平行,因此这三条直线不能围成三角形;若直线与直线的斜率相等,则,即,此时这两条直线平行,因此这三条直线不能围成三角形;若直线过直线,的交点,则,即,此时三条直线不能围成三角形.故选BCD.
12.答案:BC
解析:由题意可知是R上的增函数.
对于A,由,得,所以在区间上为增函数,故A中函数不是“H函数”;
对于B,,又,所以恒成立,故B中函数是“H函数”;
对于C,恒成立,故C中函数是“H函数”;
对于D,易知为偶函数,所以它不可能为R上的增函数,故D中函数不是“H函数”.
三、填空题:每小题5分,共4小题,共20分.
13.答案:
解析:因为,,
所以,
所以
,所以,
,所以,
则.
故答案为:.
14.答案:
解析:以A为原点,AB,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.
设,,则,,,,,所以,平面的一个法向量.设与平面所成的角为,则,解得.所以,.设异面直线与所成的角为,则.
15.答案:
解析:求导函数,可得,,,,
在上单调递增,
,
对任意的,,都有成立,
,
,
故答案为:.
16.答案:240
解析:先将5名学生分成4组共有种,
再将4组学生安排到4所不同的学校有种,
根据分步计数原理可知:不同的安排方法共有种.
故答案为:240.
四、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.答案:(1)
(2)单调递增,证明见解析
解析:(1)由题意,得,即,
解得:,.故.
(2)方法一:在上单调递增.
证明:,且,则.
由,得,,,
所以,即.故在上单调递增.
方法二:在上单调递增.
证明:,且,则
.
由,得,,所以.故在上单调递增.
18.答案:(1)或
(2)
解析:(1)因为,且,
则,
又,所以,即,
故或;
(2)由,则,
由,解得,
又与不共线,则,解得,
故与的夹角为锐角时,实数的取值范围为:.
19.答案:
(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析:(1)因为,D是BC的中点,所以.
如图,以O为原点,过点O作CB的平行线为x轴,以射线AD方向为y轴正方向,以射线OP的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,
所以,
所以,即.
(2)因为平面,平面ABC,所以.
因为,,所以.
因为M为AP上一点,且,所以.
由(1)得,所以.
又,所以.
所以,.
设平面BMC的法向量为,
则即
令,则,,所以.
设平面AMC的法向量为,
则即
令,则,,所以.
所以
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