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焦作市博爱一中2024—2024学年高三（上）10月月考

数学

考生注意：

1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下面四个命题正确的是()

A.10以内的质数集合是

B.0与表示同一个集合

C.方程的解集是

D.由1，2，3组成的集合可表示为或

2.已知函数，，则的最大值为().

A. B. C. D.1

3.已知向量，，且，则x的值为()

A.3 B.4 C.5 D.6

4.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则().

A.， B.与相交，且交线平行于l

C.， D.与相交，且交线垂直于l

5.在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线CM与所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

6.已知函数,则曲线在点处的切线方程为()

A. B.

C. D.

7.已知复数（，i是虚数单位），若，则的虚部是()

A. B. C. D.

8.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.图中矩形总计有____个()

A.75 B.111 C.102 D.120

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知实数x，y满足，，则()

A. B. C. D.

10.若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是()

A. B.

C. D.

11.设z是复数，则下列说法中正确的是()

A.若，则z是实数 B.若，则z是虚数

C.若z是虚数，则 D.若z是纯虚数，则

12.在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则()

A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为

C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数（，）的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为___________.

14.设i是虚数单位，复数，则z对应的点位于第_____象限

15.记为等差数列的前n项和，若，，则___________.

16.如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为__________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，，．

（1）求a的值；

（2）求的值．

18.（12分）已知等差数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式;

(2)设，数列的前n项和为，求．

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.

（1）求证：平面PCD；

（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

20.（12分）著名数学家欧拉提出了如下定理：二角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点坐标分别为，，，圆E的圆心E在的欧拉线上，且满足，直线被圆E截得的弦长为.

(1)求的欧拉线的方程；

(2)求圆E的标准方程.

21.（12分）规定，其中，，且，这是组合数(，且的一种推广.

（1）求的值.

（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到(，)?若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，求k的取值范围，并证明.