信息与编码理论 第2版 课件 5.3 线性分组码.pptx

§5.3

线性分组码;概述;5.3.1向量空间;5.3.2线性分组码的结构;例如，向量空间中共包括下列个4元组：

显然，下列元素构成的子集是的一个子空间：

容易验证子集中任意两个向量的和任然是中的一个向量。;总结：;对于线性分组码，码字重量和码字之间的距离存在一一对应的关系：

由式(5-6)可知，而也是一个合法码字。

最小重量

某线性分组码中所有非零码字重量的最小值，即

线性分组码的最小重量与最小码距相等，即

;线性分组码的几何解释：

;由图可知选择编码方案的基本目标：

1）为了提高编码效率，应该在向量空间中安排尽可能多的码字向量，这样才能减少码字向量中的冗余度；

2）许用码字之间的距离要尽可能的远，这样，即使发送码字在传输过程中受到扰乱，仍然能够以较高的概率实现正确译码。

;例：线性分组码;5.3.3生成矩阵;子空间的基

一个线性分组码的码字集合是二进制维向量空间的一个维子空间（），所以通常可以找到少于个的元组构成的集合，该集合中的向量可以生成所有的个码字，此时称这些向量张成了一个子空间，张成该子空间的最小线性独立集合称为子空间的基，而其中包含的向量个数称为子空间的维数。

设由个线性独立的元组向量组成的集合构成一个基，这样可以使用这些向量来生成所需的线性分组码，即个码字中的每一个码字均可以表示为;生成矩阵（GeneratorMatrix）

如果由个比特组成的消息序列可以表示为如下的行向量

则码字向量可以如下得到：

;【例5-3】确定表5-3中线性分组码的生成矩阵。;讨论：

显然，码字向量是生成矩阵中行向量的线性组合。

因为一个线性分组码可以由其生成矩阵来完全确定，因此编码器仅仅需要存储的个行向量，而不用存储所有的个码字向量。

对于本例而言，相比于表5-3中显示的维码字向量矩阵，编码器仅需要存储维的生成矩阵，这可以极大的降低编码器的复杂度。;5.3.4系统线性分组码;系统形式码字的生成公式为

于是;???例5-4】给出表5-3中线性分组码的码字生成公式。;5.3.5监督矩阵;对于系统码而言，其生成矩阵形式为，为了保证与生成矩阵之间的正交性要求，其监督矩阵显然应具有如下结构

【例5-5】给出表5-3中码的监督矩阵，并验证。

【解】由例5-3可知该码的生成矩阵，于是可知监督矩阵为;因此，可得

由例5-4可知，代入上式可得;线性分组码的最小码距和监督矩阵之间关系

假如选择是具有最小重量（或）的码字，那么由关系式可知监督矩阵中有列是线性相关的；另一方面，由于没有重量小于的码字，所以中不可能会有少于列是线性相关的。

例：观察例5-5中码的监督矩阵，可以发现其线性相关的列向量的最小数目为3，所以可以确定该码的最小码距为。

;对偶码

一个线性分组码是向量空间的一个维子空间，因此会有一个正交补集（OrthogonalComplement），即由所有正交于的向量组成的集合。显然，正交补集是向量空间的一个维子空间，所以也表示了一个线性分组码，称为码的对偶码（DualCode）。可以证明，码的生成矩阵是对偶码的一个监督矩阵。;5.3.6伴随式校验;伴随式（Syndrome）

对于接收向量，定义下面的维向量为对应于的伴随式：

译码器为了进行校验会计算其伴随式：

如果是一个合法码字，则其对应的伴随式；

如果中包含可检测到的错误，则其对应的伴随式中会有非零元素值；

如果中包含可纠正的错误，则其伴随式中会有特殊的非零值来标记特定的错误图样。;显然

即由受扰码字向量或是对应的错误图样得到的伴随式是一样的。

线性分组码有一个重要的性质（译码的基础）