考研数学一(线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析).pdf

考研数学一（线性方程组）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2011年试题，一)设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随

矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ac=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可

为()．

A．α1,α3

B．α1,α2

C．α1,α2，α3

D．α2,α3,α4

正确答案：D

解析：因为Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以rA=3，于是

r(A*)=1，故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，又A*A=｜A｜E=0且

rA=3，所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系，因为(1，0，1，0)T是方程

组Ax=0的基础解系，所以α1+α3=0，故α1,α2,α4或α2,α3,α4线性无关，

显然α2,α3,α4为A*x=0的一个基础解系，故选

D．知识模块：线性方程组

2．(2003年试题，二)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为

m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；

②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则

秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解．以上命题中正确的是

()．

A．①②

B．①③

C．②④

D．③④

正确答案：B

解析：分析①一④，不难排除掉②，④，因为从系数矩阵的秩的大小关系，

得不出它们的解的关系，而①，③的成立是因线性齐次方程组的解空间的维数与

系数矩阵的秩的关系而得以保证的．设Ax=0的一个基础解系为α1，α2……α

r，而Bx=0的一个基础解系为β1β2……βs，则r=n—rA，s=n一rB，若Ax=0

的解全是Ax=0的解，则α1，…，αr可由β1β2……βS线性表示，即r≤s，

从而rB≤rA，①成立；若Ax=0与Bx=0同解，则r=s，因而有rA=rB，综上，

选

B．齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A，B的行向量组等

价．知识模块：线性方程组

3．(2002年试题，二)设有三张不同的平面，其方程分别为ai1x+ai2y+ai3z=bi，

i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三

张平面可能的位置关系为()．

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：由题设，记系数矩阵、增广矩阵分别为由于rA=rB=2，所以线性方程

组Ax=b有无穷多解，且相应的齐次方程组Ax=0的解空间维数为1，因此Ax=b

通解形如x=kα+β其中k为任意常数，α是Ax=0的基础解系，β是Ax=b的任

一特解，这说明三个平面的公共点是一直线，因此选

B．以本题为例，一般地，若rA≠rB，则三个平面无交点；若rA=rB=3。则

有唯一交点；若rA=rB=2，则相交于一条直线；若rA=rB=1，则三个平面合．知

识模块：线性方程组

填空题

4．(2000年试题，一)已知方程组无解，则a=___________.

正确答案：将原方程组增广矩阵化为阶梯形为由于已知方程组无解，则必有

系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，因此只有a2一2a—3=0且a一3≠0才满足要

求，解得a=一1．考点2求齐次线性方程组的基础解系、通解涉及知识

点：线性方程组

5．(1997年试题，一)设为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=___________.

正确答案：由于曰为三阶非零矩阵，且AB=0，设B=(β1，β2，β3)，其

中βi=(i=1，2，3)是列向量，且不全为0，因