隐零点问题完整版本.pdfVIP

隐零点问题

有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元

以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.

类型一根据隐零点化简求范围

典例1.已知函数f(x)axxlnx的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3.

xee

（1）求实数的值；

a

（2）若，f(x)对任意x1恒成立，求的最大值；

kZkk

x1

【答案】

3

【解析】解析：（1）fxa1lnx，由f(e)3解得a1；



f(x)xxlnxx2lnx

（2）f(x)xxlnx，k@g(x)，g(x)2，

x1x1(x1)

1

令h(x)x2lnx，有h(x)10，那么h(x)h(1)1.

x

不妨设h(x)0，由h(3)0，h(4)0，则可知x(3,4)，lnxx2.

0000

因此，当hx0时，gx0，xx；当hx0时，gx0，xx；

00

x(lnx1)x(x1)

即可知g(x)g(x)0000x，

min00

x1x1

00

所以kx，得到满足条件的的最大正整数为3.

k

0

类型二根据隐零点分区间讨论

2

t

典例2已知函数f(x)x2tlnx(t0)，为何值时，方程f(x)2tx有唯一解.

【答案】(,0){1}

【解析】

22

x