安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题（含答案与解析）.docxVIP

1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试

数学试题

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本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则的子集个数为（）

A.4 B.7 C.8 D.16

2.已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（）

A. B. C. D.

3.已知，，则的最小值为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

4.学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（）

A.24种 B.36种 C.48种 D.60种

5.已知，，，则的大小关系为（）

A. B. C. D.

6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（）

A. B. C. D.

7.已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（）

A.0 B.-2 C.-4 D.

8.若定义在上的函数，满足，且，则（）

A.0 B.-1 C.2 D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（）

A.平均数9.6 B.众数为10

C.第80百分位数为9.8 D.方差为

10.在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（）

A.为偶函数 B.的图象关于点对称

C.的图象关于直线对称 D.是的一个周期

11.已知双曲线C：左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（）

A.C的离心率为3 B.当时，

C. D.为定值

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.

13.若关于方程有解，则实数m的最大值为__________.

14.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；

（2）若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围.

16.如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

17.某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：

①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.

②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确概率均为.

假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.

（1）若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：

（2）若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.

18.已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为时，线段的中点坐标为.

（1）求的方程；

（2）若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若直线与直线交于点M，面积为，求直线的方程.

19.在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.

（1）求，的值；

（2）对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；

（