湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期模拟（一）数学试卷（含答案与解析）.docxVIP

大联考长郡中学2024届模拟试卷（一）

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（）

A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量，，若，则（）

A B.1 C. D.2

4.已知函数，若在上单调递增，则的范围是（）

A. B. C. D.

5.设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为（）

A.501 B.500 C.1002 D.1001

6.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（）

A.1 B. C. D.

7.某校A?B?C?D?E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种.

A.18 B.36 C.60 D.72

8.在中，为边上一点，，且的面积为，则（）

A. B. C. D.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知双曲线，则（）

A.的取值范围是 B.的焦点可在轴上也可在轴上

C.的焦距为6 D.的离心率的取值范围为

10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（）

参考公式：样本划分为层，各层的容量?平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.

A

B.估计该年级学生成绩的中位数约为

C.估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为

D.估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为

11.设函数，则（）

A. B.

C.曲线存在对称轴 D.曲线存在对称中心

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知，，，，成等比数列，且2和8为其中的两项，则的最小值为______.

13.若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________.

14.已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则_____________.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.记的内角，，的对边分别为，，，已知，.

（1）若，求的面积；

（2）若，求.

16.如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线.

（1）求证：；

（2）截面与下底面所成夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积.

17.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.

（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；

（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.

附：若（），则，，.

18.已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.

（1）求等轴双曲线的方程；

（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.

19.已知函数，且与轴相切于坐标原点．

（1）求实数值及的最大值；

（2）证明：当时，；

（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则（