小学奥数第33讲平面图形的计算.docx

33、平面图形的计算

【周长的计算】

例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。

（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）

讲析：设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。于是有a×b=45÷9＝5；

又有：4a=5b。可求得b=2，a=。

^

所以大长方形的周长为6a＋7b=29（厘米）。

例2图中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大大多少（全国第四届“华杯赛”决赛试题）

讲析：图（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB。

从图（2）的竖直方向看，AB＝a－CD

图（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD，所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）

、

故：图（1）中画斜线区域的周长比图（2）中画斜线区域的周长大，大12

厘米。

【面积的计算】

例1如图，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是 。

（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：连结AE（如图），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。

同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=

[

从而，△ABC的面积是16-（3＋4+）=。

例2如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米

（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

讲析：如图，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。

在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。

例3三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图（2）。那么，图（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是 平方厘米。

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

讲析：如图（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。

△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。

例4如图，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是

平方厘米。

！

（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可设△AOD的面积为S。

1

则，△BOC的面积为S＋12。

1

11 1于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S，S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S）＋（S

1

1 1

=24（平方厘米）。

所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。

%

例5梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S、S、S、S。已知S=2

厘米2，S=6厘米2。求梯形ABCD的面积。

2

1 2 3 4 1

（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）

讲析：三角形S和S

1 2

都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；

则：DO∶OB=1∶3。

△ADB和△ADC是同底等高三角形，所以，S=S=2厘米2。

1 3

4343三角形S和S也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S∶

4

3

4

3

—所以，梯形ABCD的面积为

—

所以，梯形ABCD的面积为

例6正方形边长为20厘米（如图），已知DD′=EE′，CE=6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是 平方厘米。

（海口市小学数学竞赛试题）

讲析：E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。设DD′长a厘米。

D′C=20-a，E′C=a＋6。

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又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。

运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7

=（平方厘米）。

例7图是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米

（全