考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析).doc

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是()

A．[0，+∞)．

B．(一∞，0]．

C．(一∞，4]．

D．(一∞，+∞)．

正确答案：A

解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程

2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()

A．y’’’一y’’一y’+y=0．

B．y’’’+y’’一y’一y=0．

C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．

D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．

正确答案：B

解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r—1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选

B．知识模块：常微分方程

3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是()

A．y’’一y’一2y=3xex．

B．y’’一y’一2y=3ex．

C．y’’+y’一2y=3xex．

D．y’’+y’一2y=3ex．

正确答案：D

解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选

D．知识模块：常微分方程

4．设是微分方程的解，则的表达式为()

A．1

B．1

C．1

D．1

正确答案：A

解析：1知识模块：常微分方程

5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为()

A．xy2=4．

B．xy=4．

C．x2y=4．

D．一xy=4．

正确答案：C

解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选

C．知识模块：常微分方程

6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()

A．y=Cy1(x)．

B．y=Cy2(x)．

C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．

D．y=C(y1(x)一y2(x))．

正确答案：D

解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程

7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()

A．C1y1+C2y2+y3．

B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．

C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．

D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．

正确答案：D

解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选

D．知识模块：常微分方程

8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()

A．y=C1x+C2x2+ex．

B．y=C1x2+C2ex+x．

C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．

D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．

正确答案：C

解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选

C