考研数学二常微分方程模拟试卷23-真题(含答案与解析)-交互.docx

考研数学二（常微分方程）模拟试卷23

(总分48,做题时间90分钟)

1.选择题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.?

已知y1(x)和y2(x)是方程y+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()

A?

y=Cy1(x)。

B?

y=Cy2(x)。

C?

y=C1y1(x)+C2y2(x)。

D?

y=C[y1(x)一y2(x)]。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:D

解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=[y1(x)一y2(x)]为该方程的解。

2.?

已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()

A?

y=C1x+C2x2+ex。

B?

y=C1x2+C2ex+x。

C?

y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。

D?

y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:C

解析：方程y+P(x)y+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。

3.?

函数y=C1ex+C2e－2x+xex满足的一个微分方程是()

A?

y一y一2y=3xex。

B?

y一y一2y=3ex。

C?

y+y一2y=3xex。

D?

y+y一2y=3ex。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:D

解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0，故对应的齐次微分方程为y+y一2y=0。又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，应选D。

4.?

微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()

A?

y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。

B?

y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。

C?

y*=ax2+bx+c+Asinx。

D?

y*=ax2+bx+c+Acosx。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:A

解析：对应齐次方程y+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对于方程y+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c，对于方程y+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。

2.填空题

1.?

微分方程xy=yln的通解为_________。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:正确答案：y=x．eCx＋1

解析：令y=xμ，代入原方程，则有xμ+μ=μlnμ,即，两边求积分，即得ln｜lnμ一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx＋1，C为任意常数。

2.?

微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是_________。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:正确答案：tany=C(ex一1)3

解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜ex一1｜+C。所以方程有通解为tany=C(ex一1)3。

3.?

微分方程满足y｜x=1=1的特解为_________。

该题您未回答:х????该问题分值:2

答案:正确答案：y=，x＞e－1

解析：令μ=，则原方程变为，分离变量得即，将y｜x=1=1代入上式得C=e。故满足条件的方程的特解为ex=，x＞e－1。

4.?

微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=的特解为_________。

该题您未回答:х????该问题分值:2