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武汉理工控制工程第四章习题解答

习题解答：

负反馈系统的开环传递函数

?? ?? K ，

GsFs

?s?s?

?G?

?2?

1s

试绘制闭环系统的根轨迹。

解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，

终止于无穷远。?

a

??1，?

a

?180?,?60?。实轴上的根轨

迹是（-∞，-2]及[-1,0]。

d(s3?3s2?2s)?0

ds

可得，

s

1

??0.422，s

2

??1.578；s

1

??0.422

是分离点。

根轨迹见图4-28。

图4-28

2系统的开环传递函数为?? ??

2

K ，试

GsFs

??s?1??s?G??s?4?

证明点

s??1?j

31

3

在根轨迹上，并求出相应的根轨

迹增益

K

和开环增益。

K

解：若点G 在根轨迹上，则点

应满足相角条件

s

1

?G(s)H(s)??(2k?1)?

，如图4-29所示s1。

对于s ??1?j

1

图4-29

3，由相角条件

3

?G(s)H(s)?

331 1

3

3

0??(?1?j

?1)??(?1?j

?2)??(?1?j

?4)

3?0???

3

满足相角条件，因此 2

???

3 6

???

3在根轨迹上。

3

将代入幅值条件：

s

1

G(s)H(s)?

s ??1?j

1

G?1?

G

?1?j 3?1??1?j 3?2??1?j 3?4

1 1

所以， ，

K ?12 K?

KG?3

G 8 2

已知开环零点，极点，试概略画出相应的

z p

闭环根轨迹图。

??

?? ? ? ?

z 2 6 p 0 3

（2）p?0，?2，z

1,2

??4?j4；

（3）

p ??1，

1

p

2,3

??2?j1；

（4）p?0，?1，?5，z??4，?6；解：

图

图4-30（2）

4-30 （ 1 ）

图 4-30 （ 3 ）

图4-30（4）

设单位反馈控制系统开环传递函数为

G?s?? ? ??

K

?? G ?? ?

ss?1s?3.5

s?3?2j s?3?j2

试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。

解：系统有五个开环极点：

实轴1上的2根轨3迹：4??5??1. p ?0,p ??1,p ??3.5,p ??3?j2,p ?

实轴1上的2

根轨3

迹：4

?

?5

?

?

??,?3.5, ?1,0

?? ?

?1?3.5?(?3?j2)?(?3?j2)

??2.1

渐近线：

? a 5

?

?? ?

(2k?1)?

???

,?3?,?

?? a

5 5 5

分离点：

1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?0

d d?1 d?3.5 d?3?j2 d?3?j2

4.d ??0.45

1

1

, d ?2.4 (舍去), d

2 3、4

??3.25?j1.90

与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)?s(s?1)(s?3.5)(s?3?j2)(s?3?j2)?K??0

? ?把 代入上方程，整理

? ?

s j

??Re(j?)?K?

?

?10.5?4?79.5?2?0

可得，

??Im(j?)? ?5

?43.5?3

?45.5??0

???0

?

，????1.02

?

，????6.52

?

（舍去）

?K??0

?K?

?71.90

?K?

??15546.3

5.根轨迹的起始角为：

? ?180??75..96??90??135??146..3??92..74?

p4

由对称性得，另一起始角为92.74?，根轨

迹如图习题4-31所示。

图4-31

已知单位负反馈控制系统的开环传递函数

? ?G?s??30?s?b

? ?

ss?10

试作出以b为参量的根轨迹图。

解：作等效开环传递函数G?(s)=

1.实轴上的根轨迹：??40,?0?

30bs(s?40)

2.分离点： 1? 1 ?0

d d?40

解得：d??20

根轨迹如