2023-2024学年人教A版必修第二册 第十章　概率与其他知识的综合问题 学案.docx

概率与其他知识的综合问题

题型一

概率与函数、方程的综合问题

【例1】（1）已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（）

A.29 B.

C.89

（2）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是.?

解析（1）因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9（如下表所示）.

b

a

1

2

3

1

（1，1）

（1，2）

（1，3）

2

（2，1）

（2，2）

（2，3）

3

（3，1）

（3，2）

（3，3）

因为A∩B＝B，且B至多有两个元素，所以B可能为?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.当B＝?时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为89

（2）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，（a，b）的所有样本点为（2，3），（2，8），（2，9），（3，2），（3，8），（3，9），（8，2），（8，3），（8，9），（9，2），（9，3），（9，8），共12个，其中log28＝3，log39＝2为整数，所以logab为整数的概率为16

答案（1）C（2）1

通性通法

对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程（组）的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.

有一道关于“冰糖葫芦”的题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的冰糖葫芦，冰糖葫芦有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子.若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个冰糖葫芦，则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为（）

A.0.3 B.0.4

C.0.5 D.0.6

解析：B设5个山楂的冰糖葫芦有x个，2个山楂、3个小桔子的冰糖葫芦有y个，则5x+2y=640，3y=360，解得x=80，y=120，故样本点总数为80＋120＝200

题型二

概率与统计的综合问题

角度一：古典概型与统计的综合问题

【例2】某高校为了“制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力”的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：时）并绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a（精确到0.01）；

（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在[6.5，7.5），[7.5，8.5）内的学生中抽取6名参加座谈会.

①你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；

②从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在[7.5，8.5）内的概率.

解（1）∵0.03＋0.1＋0.2＝0.33＜0.5，0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，∴中位数a∈[8.5，9.5），由0.03＋0.1＋0.2＋（a－8.5）×0.35＝0.5，解得a＝0.

（2）①应从每周阅读时间在[6.5，7.5）内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在[7.5，8.5）内的学生中抽取4名.

理由：每周阅读时间在[6.5，7.5）内与每周阅读时间在[7.5，8.5）内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，

∵两者频率分别为0.1，0.2，∴应按照1∶2的比例进行名额分配.

②设从每周阅读时间在[6.5，7.5）内的学生中抽取的2人为A1，A2，从每周阅读时间在[7.5，8.5）内的学生中抽取的4人为B1，B2，B3，B4，从这6人中随机抽取2人的所有样本点有15个，分别为（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）.

设“至多有1人每周读书时间在[7.5，8.5）内”为事件A，则A中有9个样本点，分别为（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）.

∴至多有一人每周阅读时间在[7.5，8.5）内的概率为P（A）＝915＝3

角度二：相互独立事件的概率与统计的综