高中数学：3《8-3-2独立性检验第一课时》教学设计.docx

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教学设计

课程基本信息

学科

（数学）

年级

（高二）

学期

(春季)

课题

(8.3.2独立性检验（第一课时）)

教科书

书名：选择性必修第三册教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年3月

教学目标

1.基于2×2列联表，能通过实例，解释独立性检验的基本思想，归纳出独立性检验的基本步骤。

2.能用独立性检验的思想和步骤解决简单的实际问题，提升数据分析能力。

教学内容

教学重点：

独立性检验的思想和方法。

教学难点：

χ2统计变量的导出与意义，独立性检验的思想与方法。

教学过程

环节一提出问题，还原零假设

前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率稳定性推断两个变量之间是否有关联。对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大。因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算，这是本节课的主要任务。

设计意图教师对上节课的内容进行简单复习，开门见山提出学习任务，以任务驱动学习。

问题1：在上节课例1中，我们通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.那么犯错误的概率有多大？如何从概率的角度去研究两个分类变量X和Y是否有关联？设X和Y是定义在样本空间上的两个分类变量，可设X、Y∈{0，1}.

在上节课例1中，我们定义：

X=0，该生来自甲校1，该生来自乙校

我们希望判别的是性别因素是否影响学生的数学成绩.即事件{Y=1}与事件{X=1}或事件{X=0}是否有关联.

考虑以Ω为样本空间的古典概型,设X和Y为定义在Ω上，取值于{0,1}的成对分类变量，我们希望判断事件{Y=1}与事件{X=1}或事件{X=0}是否有关联.

注意到{X=0}和{X=1},{Y=0}和{Y=1}都是互为对立事件,与前面的讨论类似，用概率语言表示，就是判断下面的假定关系是否成立：

H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)

通常称H0为零假设或原假设(nullhypothesis).

其中P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=0,Y=1}的概率；而P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1,Y=1}的概率。

设计意图在独立性检验中，零假设是一个比较难以理解的概念。零假设既是研究的起始点，也是测量实际研究结果的基准。通过将问题抽象为以概率语言表达的数学问题，提升学生数学抽象核心素养。

环节二分析零假设，构造推断规则

追问1：请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量X和Y独立的定义.

由条件概率的定义可知,

零假设H0等价于P(X=0,Y=1)/P(X=0)=P(X=1,Y=1)/P(X=1)

或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0).①

因为(X=0)和(X=1)为对立事件,

于是P(X=0)=1－P(X=1).

再由概率的性质,

我们有P(X=0,Y=1)=P(Y=1)－P(X=1,Y=1).

由此推得①式等价于P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).

因此,零假设H0等价于{X=1}与{Y=1}独立。

根据已经学过的概率知识,下面的四条性质彼此等价:

{X=0}与{Y=0}独立；{X=0}与{Y=1}独立;

{X=1}与{Y=0}独立；{X=1}与{Y=1}独立。

以上性质成立,我们就称分类变量X和Y独立，这相当于下面四个等式成立;

P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0);P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);

P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).②

我们可以用概率语言，将零假设改述为H0：分类变量X和Y独立.

问题2：请根据分类变量X和Y独立的定义及等价条件，利用列联表中的数据，构造一个用于推断两个分类变量是否独立的统计量.

我们将问题一般化（符号化），可得如下列联表

追问2：你能对这个分类变量X和Y的抽样数据2×2列联表作一个解读吗？对于随机样本，表中的频数a、b、c、d都是随机变量，相应数据是这些随机变量的一次观测结果，

最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数；

最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数；

中间的四个数a、b、c、d是事件{X=x，Y=y}(x,y=0,1)的频数;

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