高中数学：3-1-1椭圆的标准方程.docx

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3.1.1椭圆的标准方程（第一课时）

一、教学目标

1.根据创设的情景，理解椭圆的定义.

2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力．

3.发现椭圆的几何特征，数形结合，进一步理解椭圆的标准方程.

二、教学重难点

1.重点：椭圆的几何特征，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质。

2.难点：椭圆集合特征的发现，椭圆标准方程的推导。

三、教学过程

1.椭圆的定义

（一）情境引入

问题1:当我们用一个平面截圆锥，所得的截面会是一个什么图形呢？

【预设答案】圆，椭圆，两条曲线，抛物线

【设计意图】感受圆锥曲线的由来，直观感知圆锥曲线

今天我们来重点研究椭圆及其标准方程，椭圆在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，卫星绕地球旋转的轨迹就是一个椭圆，

问题2:那么我们应该如何准确的绘制出椭圆呢？

【设计意图】引出绘画椭圆的数学小实验，直观感知椭圆的形状。

探究新知

【数学活动】取一条细绳，将两端点固定在同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在纸板上的的两点F1、F2用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？（请一组同学上黑板共同参与实验活动，其他同学同桌之间合作完成实验）

【设计意图】让学生认真观察画图的过程，抽象图形的几何特征，直观感知椭圆的形状，为选择适当的平面直角坐标系、建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。

问题3：这一过程中，移动的笔尖（动点M）满足的几何条件是什么?

【预设答案】动点到两定点距离在变，但绳长不变，所以动点到两定点的距离之和不变

追问1：如果设绳长为2a，将动点设为M，两定点设为F1、F2，你能将刚才的结论翻译成符号语言吗？

【预设答案】|MF1|+|MF2|=2a

追问2：在运动的过程中要保证笔尖能转动起来，绳长要满足什么条件？

【预设答案】绳长要比两定点之间的距离长，即2a＞|F1F2|

追问3：如果2a≤|F1F2|此时动点的移动轨迹又会变成什么图形呢？

【预设答案】当时点M的轨迹为:线段

当时点M的轨迹不存在

追问4：综合上述结论，你能总自己的语言总结归纳出椭圆的定义吗？

【预设答案】平面内定点到两定点的距离之和为一个常数（定值）的点的轨迹是一个椭圆，其中常数（定值）要比两定点距离要大。

【设计意图】通过画图、抽象、归纳、概括的完整过程，让学生充分讨论，用自己语言表达的基础上，给出准确、严谨的椭圆的定义。引导学生说出“平面内”“定点”“距离的和”“常数”等关键词，特别是“常数大于两定点间的距离|F1F2|”这一条件，培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.

新课讲授

椭圆的定义：平面内，与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距

这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点

两焦点的距离叫做椭圆的焦距(|F1F2|=2c)

焦距的一半c称为半焦距

2.椭圆的标准方程

（1）建系：（思考：如何建立适当的平面直角坐标系？）

学生回答，引导学生总结建系的基本原则.(关注对称性，方程的最简性)

（2）设点：设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距2c(c0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).

（3）动点的几何特征：

（4）坐标化：

（5）化简：（通过设问、点拨“怎么化简带根式的式子”突破难点学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生在学案上进行化简，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上两种方式都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.）

先让学生各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述．

问题4：=1\*GB3①怎么能让方程更简洁？

=2\*GB3②怎么能让方程更简洁？

不妨设,再化简方程得：

该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

【设计意图】暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，简洁美。

问题5：你能在图中找出表示的线段吗？

让点运动到轴正半轴上，由学生观察图形自行获得的几何意义，让学生在讲解的过程中体会数形结合思想，引出特征三角形，也为后续学习做好准备.

【设计意图】对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中字