高中数学：02海伦与秦九韶公式教学设计7-17定稿.docx

第二届湖南省中小学青年教师教学竞赛

教学设计表

株洲市（州）组别:高中科目：数学

教学设计标题：海伦和秦九韶公式

学情分析：

1.学生已经具备的认知基础。本课时的教学对象为高二年级的学生，学生已经学习三角函数以及解斜三角形，同时学生在必修三第一章内容已经接触海伦公式（当时没有证明），已经具备了学习本节内容的基础。

2.学生可能存在的认知困难。本节内容推导内容多，难度大，需要一定的推理能力。

教学目标：

知识目标：会证明海伦和秦九韶公式，弄清海伦公式与秦九韶公式本质相同。会利用海伦和秦九韶公式解决三角形三边与面积之间的关系问题。

素养目标：通过海伦和秦九韶公式的探究，发展学生观察、概括的数学能力，从而培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。

情感目标：经历海伦和秦九韶公式探究过程，使学生从中体会“问题情境→数学探究→具体问题解决”的认知发展规律，感受数学的简洁美。

教学重难点：

重点：探究海伦公式以及秦九韶公式；

难点：海伦公式以及秦九韶公式的探究及应用。

教学过程设计：

一、复习引入

问题1：求三角形的面积的方法有哪些？（学生思考，然后回答）。

问题2：如果知道三角形的三边，如何求三角形的面积？（学生思考，然后回答）

教师总结：如果三角形是特殊三角形（直角三角形或者等腰三角形等），我们可以采用公式算出三角形的面积。如果不是特殊三角形（直角三角形或者等腰三角形等），我们采用方法进行计算。有没有面积公式，只跟有关联，跟角度没有关联呢？这就是我们今天要来研究的内容。

〖设计意图〗通过复习引入，帮助学生回顾三角形面积的求法。起到温故而知新的作用。

二、问题情境

我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少？

〖设计意图〗通过问题情境引入，来激发学生的好奇心及求知欲。达到开门见山的目的。

三、合作探究

探究点1：一般地，已经三角形的三边长分别是，你能直接用来表示三角形的面积吗？如何表示？又该如何证明了？

证明Ⅰ：

在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边的对角分别为则余弦定理为：

①

②

③

④（秦九韶公式）

⑤

⑥

⑦

=8\*GB3⑧

设

则

上式

所以，

探究点2：你能通过已学知识给出秦九韶(或海伦)面积公式的其他证明方法吗？

根据勾股定理证明：

分析：先从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图，根据勾股定理得：

〖设计意图〗利用多种方法对海伦—秦九韶公式进行证明，突出知识的横向联系。

四、应用举例

例题我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若，，则用“三斜求积”公式求△ABC的面积.

变式1：在中，若，请用海伦公式求面积的最大值.

变式2：在中，若，，请用秦九韶公式求面积的最大值.

〖设计意图〗通过例题以及变式，加深对海伦—秦九韶公式的理解，提高学生分析问题解决问题的能力。

五、课堂小结

海伦——秦九韶公式

海伦：古希腊的数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等

秦九韶：南宋著名的数学家，代表作《数书九章》

三斜求积术

〖设计意图〗通过学生自主归纳总结，加深对本节课重点内容的把握，对学习起到提纲挈领的作用。

六、思维拓展

将海伦公式推广到四边形，设a，b，c，d，是四边形ABCD的各边长，记，这里.

问：这个公式对任意的四边形是否成立？

证明：已知圆内接四边形中,求圆内接四边形的面积S

在⊿ABC中,

在⊿ABC中,

所以那么

如图2

(1)

〖设计意图〗;通过学生自主归纳总结，掌握类比的学习方法。

七、强化练习

1、定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶四边形的为（）

2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为的满足，用以上给出的公式求得的面积为.

〖设计意图〗通过强化练习，是对本节内容知识的一个强化，重点在于提高学生分析问题，解决问题的能力。

八、课堂