高中数学：1-教学设计.docx

人教A版新教材第一册

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高一

学期

秋季

课题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时）

教科书

书名：普通高中数学教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年7月

教学内容分析

1.内容：两角差的余弦公式的推导证明及其应用

2.内容解析：

本节课选自人教A版.必修第一册.第五章5.5.1第一课时,其是基于圆的对称性进行研究，与5.3节相比较,5.3节中用到的是圆的特殊的对称性，此处用到的是圆的更一般的对称性，即旋转对称性，这种特殊与一般的关系蕴含着诱导公式宇两角和（差）公式之间的特殊与一般的关系，探索建立两角差的余弦公式，

两角差的余弦公式的证明方法非常多，不同的教科书在编写过程中，因为整体立意的不同，所以选用的方法也不尽相同.选择的依据有两个：一是努力使公式的证明过程简明易懂，易于学生接受；二是公式推导的依据要突出教科书编写的整体立意.本节力图体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系，所以选择了利用旋转对称性证明两角差的余弦公式.

和角，差角，倍角的三角函数之间存在紧密的联系，差角的余弦公式是其基础.培养学生的逻辑推理素养与数学运算素养.

本节课借助单位圆，利用数形结合思想推导差角的余弦公式，同时通过题目的练习让学生掌握并熟练应用公式.

教学目标分析

1.目标：

（1）经历推导两角差余弦公式的过程，理解两角差余弦公式的意义.

（2）熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值和计算.

2.目标解析：

达成上述目标的标志是：

（1）能理解借助单位圆推导两角差的余弦公式，发展直观想象素养.

（2）通过从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式和两角和与差的

正弦、正切公式，提升学生的逻辑推理素养.

（3）能对公式灵活运用，提升学生数形结合，转化化归思想和数学运算素养.

学生学情分析（含教学重难点分析）

学情分析：

学生在初中接触过特殊角的正弦、余弦，且已经了解平面内两点间距离公式，第五章对三角函数也做了相应的研究,有一定的相关知识储备.用已经学习过的知识来进一步探究相关的新知识是常用的策略，学生的综合分析和运用能力还在发展中，利用圆的旋转对称性推导差角的余弦公式对学生有一定挑战.公式的记忆较为容易，对公式的灵活运用也需要转化与化归的数学思想，还需要教师的适当启发和引导.

教学重点：

利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式及公式的灵活应用.

教学难点：

发现两角差的三角函数与圆的对称性间的联系;认识三角恒等变换的特点.

教学方法和策略分析

教学方法：讲授法，启发法，探究法，演练结合法

策略分析：

从学生熟悉的知识出发，产生认知冲突，激起学习兴趣.

探究过程中要善于引导，注意基础薄弱的学生.

题目设置由易到难，层层递进.

鉴于学生的水平不同，因材施教，采用分层作业.

教学手段

借助信息技术，PPT等现代教学手段辅助教学，增强教学简易性和直观性。

教学过程

1.环节一：复习引入

cos45°=

教师引导:思考15°可以用哪两个特殊角作差表示?

15

≠cos45

对于一般的两个角α，β

cos

对于任意的两个角α，β

cos(α?β)

探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出cos(α?β)

【设计意图】：熟悉的知识引入，以活跃轻松的气氛进入课堂状态，同时由15°

2.环节二：两角差的余弦公式的推导与证明

如图示，设单位圆与x轴正半轴交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1,为了体现结论的一般性，先假设两角的终边不重合，即

教师提问：如何研究α?β的三角函数值？

学生思考回答:角的始边与x轴非负半轴重合，在单位圆内利用三角函数的定义解决.

∠A1OP1绕点O逆时针旋转β角，角α?β的始边落在

思考：旋转的过程中有哪些量保持不变？

教师适当引导：角的位置发生了变化，角度大小未变，由圆的旋转对称性可知：角所对的弧长相等，从而得出对应的弦长相等.

教师追问：能否用代数方法证明A1

说明：找到|AP|=|A1P1|是难点，教师进行适当的点拨，学生找到这个关键数量关系.

【设计意图】：从三角函数在单位圆中的定义出发，引导学生用已有知识探究新知，感受圆的旋转对称性.多个问题引导学生自主思考，层层转化，发现各角三角函数之间的关系可通过弦长相等建立.体会数形结合的思想.

给出平面内两点间的距离公式，让学生根据以上分析动手代入化简得出结论.

平面上任意两点P1(

证明：|AP|2=[cos（）-1]2+=2-cos()

∴

当α=2kπ+βk∈Z时,