平面双连杆机械臂动态模型.docx

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构建平面双连杆机械臂动态模型

平面双连杆机械臂的分析

图1 平面双连杆机械臂

平面双连杆机械臂如图1，图中θ1为关节1转角，θ2为关节2转角，l1为杆1的长度，l2为杆2的长度，r1为关节1到杆1质心的距离，r2为关节2到杆2质心的距离,M1为负载质量。以图中的O为原点的x?y为基坐标。

0 0

数学建模

寻找动力学

末端坐标

?l

pl 1

cos?

1

lcos(?

2 1

??)

2

?l

pl 1

sin?

1

lsin(?

2 1

??)

2

根据雅克比矩阵的形式

?dx dx?

??? ?

?

?

J?? 1 2?

?dy dy?

???? ? ?

?

?

1 2

对末端坐标进行微分得到末端速度方程

x? ??l? sin? ?l(? ??)sin(? ??)

pl 1 1 1 2 1 2 1 2

y? ??l? cos? ?l(? ??)cos(? ??)

pl 1 1 1 2 1 2 1 2

其中?

1

???，? ???，将（3）、（4）两式联立整理成速度雅克比矩阵形式

1 2 2

J???l

J?

? 11

ls

212

ls?

212?

?lc?lc lc ?

11 212 212

其中s

1

=sin?，c

1 1

=cos?，s

1 2

?sin? ，c

2 2

?cos?

2

，s =sin(?

12 1

??)，c

2 12

=cos(?

1

??)。

2

在机器人基础坐标系中的速度与各关节速度间的关系以及手部与外界接触力与对应各关节间的关系可以利用雅克比矩阵来建立。对机械臂末端速度方程（3）、方程（4）进行求导得到末端加速度方程如

下

pl1x? ?(ls

pl

1

?ls)?

?ls?

?

211??(?lc

2

1

1

?lc

)?2?lc

?2?2l??c?

12

2

2

1

2

12

1212121221212y? ?(ls

1

2

12

1

2

12

2

12

1

2

?ls)?

?ls?

??(ls

?ls

)?2?ls

?2?2l??s

pl 11

212 1

212 2

11 212 1

212 2

2 1 212

其中?

=??，? =??，上述推导的方程构成了进行动力学仿真的基础,它们表明了有效负荷的加速度与

1 1 2 2

两节点处电动机的角速度和角加速度之间的关系。机械臂质心位置的加速度和关节处的变量之间关系方

程如下

??A

rs?

??rc?2

??A1

??A1 ?rc? ??rs?2

11 1

11 1

c,y

1

11 1 11 1

???A

?

?(ls

?rs)?

?rs?

?(lc

?lc

)?2?lc

?2?2l

??c

c,x

2

11 212 1

212 2

11 212 1

212 2

2 1 212

??A ?(lc?rc)? ?rs? ?(ls ?ls)?2

?lc?2

?2l??s

c,y

2

11 212 1 212 2 11 212 1 212 2 2 1 212

构建拉格朗日模型

选定广义关节变量及广义力

选取笛卡尔坐标系。θ1为关节1转角，θ2为关节2转角，关节1和关节2相应的力矩是?

和? 。

1 2

连杆1和连杆2的质量分别为m

1

和m，l1为杆1的长度，l2为杆2的长度，质心分别为k和k

2 1 2

r1为

关节1到杆1质心的距离，r2为关节2到杆2质心的距离。

因此，杆1质心k

1

的位置坐标为

X

?rs?

1 1 1

Y ??rc?

杆1质心k

1

速度的平方为

1 1 1

X?2?Y?2 ?(r??)2

杆1质心k

2

1 1 11

的位置坐标为

?ls? ?rs

2 1 1 212

??lc? ?rc

杆1质心k

2

1速度的平方为

1

1 1 212

X? ?lc??? ?rc(?? ???)

Y?2 1 1?1 212?1 ?2

?ls?