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★初中几何证明专题★

几何证明——角平分线模型(高级)

【经典例题】

例1、已知如图， ABC中，BC AC，AD 平分 CAB，若 C 100，求证：AB AD CD。

例2、如图，已知在 ABC中， B 60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：AE CD AC。

A

A

E

O

B D C

例3、如图，BD平分 ABC， ADB 45，AE BC，求 AED.

ADB E

A

D

例4、已知，如图 ABC中，AD为 ABC的角平分线，求证：AB DC AC BD．

◆角平分线模型◆ 1

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◆角平分线模型◆PAGE2

◆角平分线模型◆

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例5、如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F，BM为?ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N；如果PD?PE?PF，求证：CN是?ACB的平分线。

A

EMFN

E

M

FN

P

例6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB?DC，?ABC?80?，E是腰CD上一点，连接BE、AC、

AE，若?ACB?60?，?EBC?50?，求?EAC的度数．

A D

EB C

E

例7、已知：?ABC中，AB?BC，AC的中点为M，MN?

AC交?ABC的角平分线于N．

如图1，若?ABC?60?，求证：BA?BC? 3BN；

如图2，若?ABC?120?，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

MN

M

AN

A

N

M

B C B C

【提升训练】

1、在?ABC中，AB?AC，AD是?BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB?AC?PB?PC．

PA

P

B D C

2、如图，在?ABC中，?A等于60，BE平分?ABC,CD平分?ACB，求证：DH?EH。

A

A

D

E

H

B C

3、如图所示，在?ABC中，AD平分?BAC，AD?AB，CM?AD于M，求证：AB?AC?2AM。

BD

B

D

C

M

4、已知I是?ABC内角平分线的交点，AI交对应边于D。求证：AI?

AB?AC

。

ID BC

A

IB D C

I

5、（1）如图，BD、CE分别是?ABC的外角平分线，过点A作AF?BD，AG?CE，垂足分别为F、

G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，求证：FG?

1?AB?BC?AC?。

2

若BD、CE分别是?ABC的内角平分线（如图（2）），过点A作AF?BD，AG?CE，垂足分别为F、G，连接FG，线段FG与?ABC三边有怎样的数量关系？；

若BD为?ABC的内角平分线，CE为?ABC的外角平分线（如图（3）），过点A作AF?BD，

AG?CE，垂足分别为F、G，连接FG，则线段FG与?ABC三边又有怎样的数量关系？

ADE

A

D

E

F

G

A

E

D

G

F

E

E

D

G F

B C B

(1)

(2)

C B C

（3）

1 56、如图，已知BD，CE为?ABC的角平分钱，F为DE的中点，点F到AC，AB，BC

1 5

FG?a，FH?b，FM?c，若c2?c?2ab? m2?2m? ?0。

2 2

（1）求a，b，c，m的值；（2）求证：DG?

1(BC?CD)。

4

A

HGEF

H

G

E

F

D

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◆角平分线模型◆PAGE10

◆角平分线模型◆

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已知如图，CD是Rt?ABC斜边上的高，?A的平分线交CD于H，交?BCD的平分线于G，求证：HF//BC．

如图，BD、CE为△ABC的两条内角平分线，K为ED的中点，KF⊥AB于F，KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，求证：KF+KG=KH．

已知AC?BC，?ACB?90?，?DCB?15?，BD?CD，CE?AD于点E，求证：BC?2CE．

10．（1）如图1，B