6.2一阶微分方程.ppt

6.2一阶微分方程一、可分离变量微分方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为变量可分离的方程。

如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为变量可分离的方程。运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：其中C为积分后出现的任意常数。将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。

例1解原方程即对上式两边积分，得原方程的通解

例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为

例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:

例4解于是，原方程化为两边积分，得即

形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:

例5.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.

二、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。习惯上，称为方程所对应的齐方程。

运用分离变量法，得两边积分，得故表示一个原函数

例6解故该一阶齐线性方程的通解为

例7解先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为

一阶非齐线性方程的解比较两个方程：请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点什么东西呢？行吗?!

怎么办？故即

上式两边积分，求出待定函数以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。

例7解所以，方程的通解为

例8解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为