专题09 解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略（解析版）.docxVIP

专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1

【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 5

【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 9

【类型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 14

【类型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 21

【类型六利用倍角关系构造新等腰三角形】 26

【典型例题】

【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．

(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；

(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．

【答案】(1)；

(2)，理由见解析．

【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；

（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．

【详解】（1）解：连接，

∵，，点是的中点

∴，且，平分，

∴，，

又∵

∴

∴

∴（ASA）

∴．

（2），理由如下：

连接，

由（1）可知：，，

∴

在和中，

∴（ASA）

∴

∵

∴．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．

【变式训练】

1．在中，，，点O为的中点．

(1)若，两边分别交于E，F两点．

①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；

②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．

(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．

【答案】(1)①见解析；②18

(2)2

【分析】（1）①由“”可证，可得；

②由“”可证，可得，即可求解；

（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．

【详解】（1）①证明：如图1，连接，

∵，，

∴.

∵点O为的中点，

∴，

∴和是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

②解：如图2，连接，

同理可证：，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：18；

（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，

∵，，点O为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】

例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．

(1)求证：BD＝CE；

(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．

【答案】(1)见解析；

(2)90°．

【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．

（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．

【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．

∵AB＝AC，AD＝AE．

∴BF＝CF，DF＝EF，

∴BD＝CE．

（2）解：∵AD＝DE＝AE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠DAE＝∠ADE＝60°．

∵AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA．

∴∠DAB∠ADE＝30°．

∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．

【变式训练】

1．已知在中，，且=．作，使得．

(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；

(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；

(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．

【答案】(1)；

(2)见解析；

(3)与相等或互补

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得，由即可求出的度数；

（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；

（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．

【详解】（1）解：中，，且=,

????????

．

（2）

如图，过点作于E点，

中，，，

，

中，

，

，

,=，

????????

????

．

在和中，,,，

∴≌，????

∴，????

∴．

（3）

①如图，作于，于，

∵与的面积