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专题02相交线与平行线(压轴必刷30题)
一.余角和补角(共2小题)
1.将一副学生用三角板(一个锐角为30°的直角三角形,一个锐角为45°的直角三角形)如图叠放,则下列4个结论中正确的个数有()
①OE平分∠AOD;
②∠AOC=∠EOD;
③∠AOC﹣∠CEA=15°;
④∠COB+∠AOD=180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解答】解:∵∠DOC=∠AOB=90°,
∴∠DOC﹣∠BOC=∠AOB﹣∠COB,
即∠AOC=∠BOD,故②错误;
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°,故④正确;
如图,AB与OC交于点P,
∵∠CPE=∠APO,∠C=45°,∠A=30°,∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°,
∴∠AOC﹣∠CEA=15°.故③正确;
没有条件能证明OE平分∠AOD,故①错误.
故选:C.
2.如图1,某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中,把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处,并使两条直角边落在直线PQ、MN上,将△AOB绕着点O顺时针旋转α(0°<α<180°).
(1)如图2,若α=26°,则∠BOP=64°,∠AOM+∠BOQ=180°;
(2)若射线OC是∠BOM的角平分线,且∠POC=β.
①若△AOB旋转到图3的位置,∠BON的度数为多少?(用含β的代数式表示)
②△AOB在旋转过程中,若∠AOC=2∠AOM,求此时β的值.
【答案】(1)64°;180°;
(2)①2β;
②60°或36°.
【解答】解:(1)如图2,∵MN⊥PQ,
∴∠POM=∠QOM=90°,
∵∠BOM=∠AOQ=26°,
∴∠BOP=90°﹣26°=64°;
∵∠AOB=90°,
∴∠AOM+∠BOQ=∠AOM+∠AOQ+∠AOB=∠QOM+∠AOB=90°+90°=180°,
故答案为:64°;180°;
(2)①∵∠POM=90°,∠POC=β,
∴∠COM=90°﹣β,
∵射线OC是∠BOM的角平分线,
∴∠BOM=2∠COM=180°﹣2β,
∴∠BON=180°﹣(180°﹣2β)=2β;
②当OA位于∠QOM内部时,如图3,
∵OC平分∠BOM,
∴∠BOC=∠COM,
∵∠AOC=2∠AOM,
∴∠AOM=∠COM,
∴∠AOM=∠COM=∠BOC=∠AOB,
∵∠AOB=90°,
∴∠COM=30°,
∴β=90°﹣30°=60°;
当OA位于∠POM内部时,如图,
∵∠POM=90°,∠POC=β°,
∴∠COM=90°﹣β,
∵OC平分∠BOM,
∴∠BOM=2∠COM=180°﹣2β,∠BOC=∠COM=90°﹣β,
∴∠AOM=180°﹣2β﹣90°=90°﹣2β,∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣(90°﹣β)=β,
∵∠AOC=2∠AOM,
∴β=2(90°﹣2β),
解得β=36°,
综上所述,若∠AOC=2∠AOM,β的值为60°或36°.
二.平行线的判定(共1小题)
3.一副直角三角板中,∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°,现将直角顶点C按照如图方式叠放,点E在直线AC上方,且0°<∠ACE<180°,能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为45°或135°或165°.
【答案】45°或135°或165°.
【解答】解:当∠ACE=∠E=45°时,AC∥BE,理由如下,如图所示:
∵∠ACE=∠DCB=45°,∠B=45°,
∴BE⊥CD.
又∵AC⊥CD,
∴AC∥BE;
当∠ACE=135°时,BE∥CD,理由如下,如图所示:
∵∠ACE=135°,
∴∠DCE=135°﹣90°=45°,
∵∠E=45°,
∴∠DCE=∠E,
∴BE∥CD;
当∠ACE=165°时,BE∥AD.理由如下:
延长AC交BE于F,如图所示:
∵∠ACE=165°,
∴∠ECF=15°,
∵∠E=45°,
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°,
∵∠A=60°,
∴∠A=∠CFB,
∴BE∥AD,
综上,三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数的为:45°或135°或165°.
故答案为:45°或135°或165°.
三.平行线的性质(共27小题)
4.如图,AB∥CD,E为AB上一点,且EF⊥CD垂足为F,∠CED=90°,CE平分∠AEG,且∠CGE=α,则下列结论:①;②DE平分∠GEB;③∠CEF=∠GED;④∠FED+∠BEC=180°;其中正确有()
A.①② B.②③④ C.①②③④ D.①③④
【答案】C
【解答】解:∵∠CGE=a,AB∥CD,
∴
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