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河南省驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.计算等于()
A. B. C. D.
2.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
3.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是()
A. B. C. D.
4.若,则的值为()
A. B. C. D.
5.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示,俯视图中的两个小三角形全等,则()
A.PA,PB,PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为
C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为
6.已知,,,则()
A. B.
C. D.
7.已知函数.设,若对任意不相等的正数,,恒有,则实数a的取值范围是()
A. B.
C. D.
8.函数(),当时,的值域为,则的范围为()
A. B. C. D.
9.函数图像可能是()
A. B. C. D.
10.己知函数的图象与直线恰有四个公共点,其中,则()
A. B.0 C.1 D.
11.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()
A.2 B. C. D.
12.已知,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若直线与直线交于点,则长度的最大值为____.
14.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.
15.已知点P是直线y=x+1上的动点,点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点,O为原点,则
16.若,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)若不等式在时恒成立,则的取值范围是__________.
18.(12分)如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.
(1)求证:平面;
(2)若,,,,求二面角的正弦值.
19.(12分)已知,,求证:
(1);
(2).
20.(12分)已知正项数列的前项和.
(1)若数列为等比数列,求数列的公比的值;
(2)设正项数列的前项和为,若,且.
①求数列的通项公式;
②求证:.
21.(12分)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为14万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.
(1)若选择生产线①,求生产成本恰好为18万元的概率;
(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.
22.(10分)如图,已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.
(1)证明:平面;
(2)求点N到平面CDM的距离.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题.
2、B
【解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.
【详解】
当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,
当时,,令
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
所以当时,取得最大值,
因为在上有3个零点,
所以当时,有2个零点,
如图所示:
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为,
故选:B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于
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