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概率论第四七章习题课

P题16：

115

若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试

开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去，试用下

面两种方法求试开次数X的数学期望。

(1)写出X的分布律。

(2)不写出X的分布律。

解:(1)以Ak(k=1,2,…,n)表示事件“第k次试开是成功的”。{X=k}表示前

k-1次所取的钥匙均未能打开门，而第k次所取的钥匙能将门打开。即有：

1

故X的分布律满足：P{X=k}=,k=1,2,3…,n

n

故X的期望为：

()n{}n11n

EX∑kPXk∑k*∑k

k1k1nnk1

()

1nn+1n+1

*

n22

（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。

i第i次试开能开门

设Xii=1,2……n

0第i次试开不能开门



n

则试开到能开门所须试开次数为X∑Xi

i1

∵Xii0E(X)=i⋅1

i

n

n−1n−211n−1

P⋅

nn−1n−inni=1,2……n

nn

i12nn+1

∴()()

EXEX+++

∑i∑nnnn2

i1i1

P题20：

116

设随机变量X服从几何分布，其分布律为{}k−1其中

PXkp(1−p),k1,2,...,

0p1是常数，求E(X),D(X).

P题37：

117

22

对于两个随机变量