2024年中考数学真题分类汇编第二期专题13二次函数试题含解析202401253134.doc

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二次函数

一.选择题

1.（2024·湖北随州·3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：

①2a+b+c＞0；

②a﹣b+c＜0；

③x（ax+b）≤a+b；

④a＜﹣1．

其中正确的有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，

∴当x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②正确；

∵x=1时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；

∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b=﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．

2.（2024·湖北襄阳·3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）

A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2

【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，

∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，

解得：m≤5，

故选：A．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．

3.（2024?山东东营市?3分）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．

【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：=，

即EF=2（6﹣x）

所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）

该函数图象是抛物线的一部分，

故选：D．

【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．

4.（2024?山东烟台市?3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．

【解答】解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），

∴二次函数的图象的对称轴为x==1

∴=1

∴2a+b=0，故①错误；

②令x=﹣1，

∴y=a﹣b+c=0，

∴a+c=b，

∴（a+c）2=b2，故②错误；

③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；

④当a=1时，

∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4

将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；

故选：D．

【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题