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圆锥曲线难题汇编

我经过反思与整理，写成此文。

一、圆锥曲线的光学性质

1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反

射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在

F处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F处，对F处的物体加热．

122

1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射

后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实

际应用．

1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射

后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例

如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵线是抛物线，把光源置于它的焦点

处，经镜面反射后能成为平行光束，照射距离加大，并可通过转动抛物

线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一

般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对

称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限

度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把

对称轴跟踪对准卫星，则可以发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星

的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物

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线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

B

D

AF

2



FOF1F1

2

图1.1

图1.2图1.3

要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转

化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化证明

2．1圆锥曲线的线与法线的定义

lcPQlPQ

设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿

PQMlcM

着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点

MlcM

处的线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。

此时，我们可以借助圆锥曲线的线和法线，对这一问题进行转化：

2.2圆锥曲线光学性质的证明

22

xy

Pxy1

预备定理1.若点(0,0)是椭圆a2b2上任一点，则椭圆过该点的

xxyy

线方程为：02021。

ab

22

yxx2

1y2