专题22 直角三角形【十六大题型】（举一反三）（解析版）.docxVIP

专题22直角三角形【十六大题型】

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【题型1由直角三角形的性质求解】 1

【题型2根据已知条件判定直角三角形】 7

【题型3利用勾股定理求解】 13

【题型4判断勾股数问题】 16

【题型5勾股定理与网格问题】 19

【题型6利用勾股定理解决折叠问题】 26

【题型7勾股定理与无理数】 33

【题型8利用勾股定理证明线段的平方关系】 36

【题型9勾股定理的证明方法】 43

【题型10以弦图为背景的计算】 48

【题型11利用勾股定理构造图形解决问题】 53

【题型12利用勾股定理解决实际问题】 56

【题型13在网格中判定直角三角形】 61

【题型14利用勾股定理逆定理求解】 66

【题型15图形上与已知两点构成直角三角形的点】 70

【题型16用勾股定理解决实际生活问题】 75

【知识点直角三角形】

①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a.b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a.b.c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

【题型1由直角三角形的性质求解】

【例1】（2023·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD,BC上，且DE=CF，连接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED=70°，则∠AGD的度数为．

??

【答案】55°/55度

【分析】根据正方形的性质可得AD=DC，∠ADE=∠C=∠DAG=90°，AD∥BC，从而证明△ADE?△DCFSAS，得∠AED=∠DFC=∠ADF=70°

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠C=∠DAG=90°，AD∥

∴∠ADF=∠DFC，

在△ADE和△DCF中，

AD=DC∠ADE=∠C

∴△ADE?△DCFSAS

∴∠AED=∠DFC=∠ADF=70°，

∵DG平分∠ADF，

∴∠ADG=1

∴∠AGD=90°-∠ADG=55°，

故答案为：55°．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定证明△ADE?△DCF是解题的关键．

【变式1-1】（2023·北京平谷·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（????

??

A．∠1+∠2=90° B．∠1=30° C．∠1=∠4 D．∠2=∠3

【答案】B

【分析】借助直角三角形两锐角互余，依次判断即可．

【详解】解：Rt△ABC

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，故A正确；

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠3+∠4=90°

∴∠1=∠4，故C正确；

∵∠CDB=90°，

∴∠2+∠4=90°，

∵∠3+∠4=90°

∴∠2=∠3，故D正确；

∵∠1不一定是30°，故B符合题意

故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余这一性质来解题是关键．

【变式1-2】（2023·江苏镇江·统考二模）如图，分别以△ABC的边AC和AB向外作等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，点M、N分别是BC、CE中点，若MN=23，则四边形BCED

??

【答案】24

【分析】连接BE，CD交于点H，根据三角形中位线定理可得BE=2MN=43，然后证明△BAE≌△DAC(SAS)

【详解】解：如图，连接BE，CD交于点H，BE交AD于G，

??

∵点M、N分别是BC、CE中点，MN=23

∴BE=2MN=43

在等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，AB=AD，AE=AC，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

AB=AD∠BAE=∠DAC

∴△BAE≌△DAC(SAS

∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，

∵∠ABE+∠BGA=90°，

∴∠ADC+∠BGA=90°，

∵∠BGA=∠DGH，

∴∠ADC+∠DGH=90°，??

∴∠DHG=90°，

∴BE⊥CD，

∵BE=DC=43

∴四边形BCED的面积=12×BE?CD=

故答案为：24．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积，三角形中位线定理，解决本题的关键是得到