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期中解答题压轴必刷

范围：第1-4单元

1．你会求（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）的值吗？

这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：

（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1

（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1

（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1

（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1

利用上面的结论求

（2）22018+22017+22016+…+22+2+1的值．

（3）求52018+52017+52016+…+52+4的值．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1，

故答案为：a2019﹣1；

（2）22018+22017+22016+…+22+2+1

＝（2﹣1）（22018+22017+22016+…+22+2+1）

＝22019﹣1；

（3）52018+52017+52016+…+52+5+1

＝（5﹣1）（52018+52017+52016+…+52+5+1）×，

＝×（52019﹣1），

所以52018+52017+52016+…+52+4

＝52018+52017+52016+…+52+5+1﹣2

＝﹣2

＝．

2．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：

根据上述规律，完成下列各题：

（1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为32．

（2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为2n．

（3）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．

下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：

（4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是，（8，3）表示的数是．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，

1+5+10+10+5+1＝32，

故答案为：32；

（2）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各项系数和为2＝21，

第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，各项系数和为4＝22，

…

第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n；

故答案为：2n；

（3）由（2）得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，

故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；

（4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是，

∴（6，2）表示第六行第二个数，是﹣＝，

按规律计算：第六行：，，，，，，

第七行：，，，，，，，

第八行：，，…

∴（8，3）表示第八行第三个数，是﹣＝；

故答案为：，．

3．如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；

（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（3）试利用这个公式计算：

①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

②

③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）原阴影面积＝a2﹣b2，拼剪后的阴影面积＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；

（2）验证的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（3）①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p），

＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]，

＝（2m）2﹣（n﹣p）2，

＝4m2﹣n2+2np﹣p2；

②＝＝＝＝5；

③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，

＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，

＝（22﹣1）（22+1）（24+1）