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34.因子分析
〔一〕根本原理
一、概述
因子分析,是用少数起根本作用、相互独立、易于解释通常又是
不可观察的因子来概括和描述数据,表达一组相互关联的变量。通常
情况下,这些相关因素并不能直观观测。
因子分析是从研究相关系数矩阵部的依赖关系出发,把一些具有
错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分
析方法。简言之,即用少数不可观测的隐变量来解释原始变量之间的
相关性或协方差关系。
因子分析的作用是减少变量个数,根据原始变量的信息进展重组,
能反映原有变量大局部的信息;原始局部变量之间多存在较显著的相
关关系,重组变量〔因子变量〕之间相互独立;因子变量具有命名解
释性,即该变量是对*些原始变量信息的综合和反映。
主成分分析是因子分析的特例。主成份分析的目标是降维,而因
子分析的目标是找出公共因素及特有因素,即公共因子与特殊因子。
因子分析模型在形式上与线性回归模型相似,但两者有着本质的
区别:回归模型中的自变量是可观测到的,而因子模型中的各公因子
是不可观测的隐变量,而且两个模型的参数意义也不一样。
二、原理
假设样品检测p个指标〔变量〕*,…,*,得到观测矩阵*,这p
1p
个指标变量可能受m(mp)个共同因素f,…f的影响,再加上其它影
1m
.z.
-
响因素。表示为:
用矩阵表示为
其中,共同影响因素f,…f是均值为0方差为1的随机变量,称为公
1m
共因子;A称为因子载荷矩阵,a是第j变量在第i公共因子上的
p×mji
负荷,即*在坐标轴f上的投影;e是变量*所特有的因子,均值为0
jiii
方差为σi2,称为特殊因子。各特殊因子之间及特殊因子与公共因子
之间都是相互独立的,即COV(e,e)=0,COV(e,f)=0.
ij
因子分析就是用f,…f代替*,…,*,到达降维的目的。
1m1p
主成份分析中,残差通常是彼此相关的。因子分析中,特殊因子
起到残差的作用,但被定义为彼此不相关且和公因子也不相关。而且
每个公因子假定至少对两个变量有奉献,否则它将是一个特殊因子。
在开场提取公共因子时,已假定它们彼此不相关且具有单位方差。
故向量*的协方差矩阵Σ可以表为
T
Σ=D(*)=D(Af+e)=AA+D
22
其中,D=diag(σ,…,σ).假设假定*已标准化,即每个*值为0方
1pi
差为1.则
m
记h2a2称为变量共同度,则有1h22,
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