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中考数学--整体思想练习

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中考数学专项讲解整体思想

知识梳理

整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．

典型例题

一、在数与式的运算中的应用

【例1】已知代数式3x2－4x+6的值为9，则的值为()

A．18B．12C．9D．7

【分析】如果根据题意直接求出x再代入到中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是的3倍，所以可以将看作一个整体，则．

【解】D

此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值，其中满足2－2－1=0．

【分析】对分式进行化筒结果为，如果把求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把2－2看成一个整体，则由已知可得2－2=1，所以原式=．

【解】原式=

当2－2=1时，原式=．

【例2】计算：

【分析】如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”．

【解】设：，，

则原式=(1+b)－(1+)b=－b=．

二、在方程中的应用

【例3】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．

【分析】设日记本、圆珠笔的单价分别为x元，y元，根据题意得方程组：，如果解出x和y再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元．

【解】D

【例4】(08苏州)解方程：．

【分析】直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程．

【解】设，则原方程可化为2t2+t－6=0，解方程得：t1=－2，，

，x2=2，经检验，x2=2是原方程的解．

三、在几何计算中的应用

【例5】如图⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0．5cm，则图中的阴影部分的面积是()

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

【分析】由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5cm的半圆的面积，即．选择B．

【答案】B

综合训练

1．当代数式+b的值为3时，代数式2+2b+1的值是()

A．5B．6C．7

9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．

10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．

11．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是________．

12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．

13．(08烟台)已知x(x－1)－(x2－y)=－3，求x2+y2－2xy的值．

14．(07泰州)先化简，再求值：

，其中是方程x2+3x+1=0的根．

15．阅读材料，解答问题．

为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0．我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1=

y，则