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定理１有限群中每个元素的阶均有限。注：*§2.2群中元素的阶规定如果这样的不存在，则称的阶为无限（或称是零）。元素的阶常用表示。定义１设为群的一个元素，使的最小正整数，叫做元素的阶。的阶是例１在次单位根群中，的阶是的阶都是其余元素的阶均无限。的阶是例２在正有理数乘群中，例３在非零有理数乘群中，的阶是的阶是其余元素的阶均无限。群周期群无扭群混合群若中除外，其余元素的阶均无限。都有限。若群中每个元素的阶既不是周期群又不是无扭群的群。证明：设为阶有限群，任取,则中必有相等的。设则从而的阶有限。无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，，其中是次单位根群关于普通乘法作成无限交换群，甚至可能都有限.例，则其中每个元素的阶都有限.证明：设，并令则由于，故但故必从而反之，设且令，因故定理２设群中元素的阶是，则例4证明：群中以下每组中的元素有相同的阶：定理３若群中元素的阶是，则证明：设且故有其次，设，则。由定理２知但故因此，推论１在群中设，则，其中是正整数。推论２在群中设，则定理４若群中元素，则当且时，证明：由于故设则但故又因故同理可得再根据故从而注１．定理中的条件不能少。在有理数域上二阶线性群中，２．定理中的条件不能少。但的阶无限。的阶分别为但与的阶都无限，的阶为是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.小结元素的阶的定义元素的阶的性质群的分类*
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