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高中数学试卷

第一部分：选择题

1.设集合$A=\{x\mid2x-4\geq0\}$，则$A$中元素的取值范围是（）

A.$\{2\}$

B.$\{3\}$

C.$\{4\}$

D.$\{5\}$

2.若直线$y=kx+2$与椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$相交于两个不同点，则$k$的取值范围是（）

A.$(-\infty,-\dfrac{3\sqrt{3}}{4})\cup(\dfrac{3\sqrt{3}}{4},+\infty)$

B.$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

C.$(-\infty,-\dfrac{\sqrt{3}}{4})\cup(\dfrac{\sqrt{3}}{4},+\infty)$

D.$(\dfrac{\sqrt{3}}{4},\dfrac{3\sqrt{3}}{4})$

3.若曲线$y=f(x)$满足条件$f(x)=3x^2+4$，且$f(0)=2$，则$f(1)$的值是（）

A.5

B.6

C.7

D.8

4.已知复数$z$满足$|z-3|=z$，则$z$可能的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

5.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-12$的零点个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

第二部分：填空题

6.解不等式$6x-5\geq11$，得$x$的取值范围是（）。

7.已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$a_4=9$，则$a_7$的值是（）。

8.函数$f(x)=2x^2-3x+5$的对称轴方程是$y=$（）。

9.已知等比数列$\{b_n\}$满足$b_1=1$，$b_3=9$，则$b_4$的值是（）。

10.若集合$A=\{x\midx2\}$，$B=\{y\midy5\}$，则$A\cupB$的取值范围是（）。

第三部分：解答题

11.解方程组

$\begin{cases}2x+y=5\\3x-2y=8\end{cases}$

12.求函数$f(x)=\log_2(x-3)+\log_2(x+2)$的定义域，并指出函数的对称轴。

13.已知函数$f(x)=\sqrt{2x-1}$，求$f^{-1}(x)$的表达式，并指出其定义域和值域。

14.已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$d=-2$，且$a_n0$，求$n$的取值范围。

15.求集合$A=\{x\midx^2-4x+30\}$的取值范围。

第四部分：证明题

16.证明直线$y=2x-3$、$x+y=2$、$y=2$三者的位置关系。

17.证明：如果一个实数的平方小于等于4，那么这个实数的绝对值小于等于2。

18.证明：若三角形的三条边满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形一定是直角三角形。

19.证明：$n(n^2+5)$一定是偶数。

20.证明：给出曲线$y=f(x)$的导数$f(x)$和$f(x)$，证明曲线在驻点附近均为凹凸性质。

高中数学试卷答案

第一部分：选择题

1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

第二部分：填空题

6.$x\geq16/6$

7.15

8.$x=3/4$

9.27

10.$(-\infty,5)$

第三部分：解答题

11.解：

将方程组改写成矩阵形式：

$\begin{bmatrix}21\\3-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\8\end{bmatrix}$

求得系数矩阵的行列式值为$2\times(-2)-3\times1=-4-3=-7\neq0$，所以方程组有唯一解，解为$x=2$，$y=1$。

12.解：

函数$f(x)=\log_2(x-3)+\log_2(x+2)$的定义域要求$x-30$，$x+20$，即$x3$，$x-2$，所以定义域为$(-2,+\infty)$。

函数的对称轴为直线$x=-\dfrac{3}{2}$。

13.解：

函数$f(x)=\sqrt{2x-1}$的定义域要求$2x-1\geq0$，即$x\geq\dfrac{1}{2}$，所以定义域为$\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$。

函数的值域为$[0,+\infty)$。

函数$f^{-1}(x)=\dfrac{x^2+1}{2}$的定义域为$[0,+\infty)$