7.5正态分布（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）.docxVIP

7.5正态分布

（基础知识+基本题型）

知识点一正态分布密度曲线

函数，，其中实数和为参数，其图象是（或近似地是）一条钟形曲线，如，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

提示

⑴参数表示随机变量的数学期望，参数表示标准差.

⑵由函数解析式可以看出，当和时的函数值相等，即函数图象关于直线对称.

⑶指数上的和系数的分母上的要一致，且指数部分是一个负数，但，.

知识点二正态分布

一般地，如果对于任何实数，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布.

归纳

⑴正态分布的特点：正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作.若随机变量服从正态分布，则记为.

⑵参数和的意义：参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；参数是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，把，且的正态分布叫做标准正态分布.

⑶正态分布的特征：经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.

⑷的几何意义：随机变量落在区间内的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，就是落在区间内的概率的近似值，如图所示.

知识点三正态曲线的性质

⑴曲线位于轴上方，与轴不相交.

⑵曲线是单峰的，它关于直线对称.

⑶曲线在处达到峰值.

⑷曲线与轴之间的面积为.

⑸当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图.

⑹当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图.

知识点四正态总体在三个特殊区间内取值的概率

若，则对于任何实数，表示图2.4-5中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大，这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大.

特别有，，

.

拓展

⑴正态总体在区间内取值的概率为，即在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

⑵原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值.

考点一正态曲线的概念

例1图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出随机变量的期望和方差.

解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线对称，所以.

由最大值是，且，得.

于是正态分布密度函数的解析式是，.随机变量的数学期望是，方差是.

利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴；二是最大值为.这两点确定后，相应参数便确定了，代入中便可以求出相应的解析式.

考点二正态曲线的性质

例2关于正态曲线的性质有下列叙述：

①曲线关于直线对称，这条曲线在轴的上方；

②曲线关于直线对称，这条曲线只有当时，才在轴的上方；

③曲线关于轴对称，因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数；

④曲线在时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；

⑤曲线的对称轴由确定，曲线的形状由确定；

⑥当一定时，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”.其中正确的有（）

A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥ D．①⑤⑥

解析：正态曲线是一条关于直线对称，在时处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线.该曲线总是位于轴的上方，曲线的形状由确定，而且当一定时，比较若干不同的对应的正态曲线，可以发现：越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”，故正确的叙述为①④⑤⑥.

答案：A

总结：对于正态曲线的性质，必须理解解析式中的两个参数的意义及它们对正态曲线的影响和作用.

考点三正态分布的概率计算

例3设，试求：⑴；⑵；⑶.

解：因为，所以，.

⑴因为，，所以.

⑵因为正态曲线关于直线对称，所以.

又因为，，所以.

所以

.

⑶因为正态曲线关于直线对称，所以.

所以

.

求正态总体在某区间内取值的概率的基本方法：

⑴利用落在区间，，内的概率来进行计算.

⑵充分利用正态曲线的特点（如对称性、曲线与轴围成的面积为等）来求解.

考点四原则在实际问题中的应用

例4在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布.已知成绩在分以上（含分）的学生有人.⑴此次参赛学生约有多少人？⑵若成绩在分以上（含分）为优，则此次竞赛成绩为优的学生约有多少人？

解：⑴设参赛学生的成绩为，因为，所以，.

则

，

（人）.因此，此次参赛学生约有人.

⑵

，（人）.

因此，此次竞赛成绩为优的学生约有人.

本题中利用，巧妙地把转化成含的表达式，这正是原则在实际问题中的应用，必须熟练掌握这种方法.

考点五正态分布在决策中的应用

例5某厂生产的圆柱形零件的