线性规划数学教案.doc

线性规划数学教案

线性规划数学教案

教学目标

巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．

重点难点

理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．

如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．

教学步骤

我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．

先讨论下面的问题

设，式中变量x、y满足以下条件

①

求z的最大值和最小值．

我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点〔0，0〕不在这个三角形区域内，当时，，点〔0，0〕在直线上．

作一组和平等的直线

可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．

即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A〔5，2〕的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以

在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．

是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．

线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解〔5，2〕和〔1，1〕分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．

例1解以下线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．

作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．

通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；

第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．

例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．

解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．

作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为〔9，2〕．

∴这个例题可在教师的指导下，由同学解出．在此例中，假设目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C〔3，6〕处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，假设〔直线的斜率〕时，线段BC上所有点都是使z取得最大值〔如本例〕；当时，点C处使z取得最大值〔比如：时〕，假设，可请同学思索．

随堂学习

1．求的最小值，使式中的满足约束条件

2．求的最大值，使式中满足约束条件

答案：1．时，．

2．时，．

总结提炼

1．线性规划的概念．

2．线性规划的问题解法．

布置作业

1．求的最大值，使式中的满足条件

2．求的最小值，使满足以下条件

答案：1．

2．在可行域内整点中，点〔5，2〕使z最小，

探究活动

［问题］某企业2021年的利润为5万元，2021年的利润为7万元，2021年的利润为81元，请你依据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2021年企业的利润，请问你帮该企业推测的利润是多少万？

［分析］首先应合计在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“2021年的利润为5万元，2021年的利润为7万元，2021年的利润为8万元〞，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思索的方向可以合计将通过特别点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为推测直线等等．

建立平面直角坐标系，设2021年的利润为5万元对应的点为〔0，5〕，1998年的利润为7万元及2021年的利润为8万元分别对应点〔1，7〕和〔2，8〕，那么

①假设将过两点的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为13万元．

②假设将过两点的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为11万元．

③假设将过